Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I Se T : R 9 → R 7 é uma transformação linear sobrejetiva, então a dimensão do núcleo de T é igual a 0 .

I I Sejam A e B matrizes reais n × n . Se A B é sobrejetiva, então A possui autovalor igual a 0 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Se T é sobrejetiva, dim ⁡ I m T = 7 . Então, pelo T N I ,

dim ⁡ N u c T + 7 = 9

dim ⁡ N u c T = 2

Logo, essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Se A e B são n × n , então A B também é n × n . Se A B é sobrejetiva, então temos que garantir que A seja sobrejetiva! Como ela é a última matriz que aplicamos, se ela não fosse sobrejetiva não teria como A B ser.

E, se A é quadrada e sobrejetiva, então ela é injetiva. Logo, ela não possui autovalor zero, pois seu núcleo tem dimensão 0 . Falsa.

Resposta

Letra ( a )

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