Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A = 3 2 2 1 3 1 - 2 - 3 - 1 . A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é:

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 2

Passo 1

Belezera meus amores, pra gente descobrir a dimensão do autoespaço de uma matriz A , dado o autovalor λ , fazemos:

dim ⁡ n u c A - λ I

Ou seja, a dimensão do núcleo de A - λ I vai nos retornar a dimensão do autoespaço associado ao autovalor λ .

Passo 2

Então dado que A = 3 2 2 1 3 1 - 2 - 3 - 1 e λ = 2 , temos:

dim ⁡ n u c 3 2 2 1 3 1 - 2 - 3 - 1 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

dim ⁡ n u c 3 2 2 1 3 1 - 2 - 3 - 1 - 2 0 0 0 2 0 0 0 2

dim ⁡ n u c 1 2 2 1 1 1 - 2 - 3 - 3

Iradoso, e calculando o núcleo dessa matriz, podemos escalonar desse jeito:

1 2 2 1 1 1 - 2 - 3 - 3 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 + 2 L 1 = 1 2 2 0 - 1 - 1 0 1 1

1 2 2 0 - 1 - 1 0 1 1 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 1 2 2 0 - 1 - 1 0 0 0

Logo, da segunda linha, temos que:

- y - z = 0

y = - z

E da primeira linha:

x + 2 y + 2 z = 0

x - 2 z + 2 z = 0

x = 0

Logo o núcleo x ,   y ,   z da matriz é dado como:

x ,   y ,   z = 0 ,   - 2 z ,   z

n u c A = 0 .   - 2 .   1

Como temos apenas 1 vetor na base do núcleo, nossa dimensão vai ser igual a 1 . Resposta certa, letra (a).

Resposta

Letra (a)

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