Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

A matriz A 3 × 3 tem três autovalores distintos, λ 1 , λ 2 e λ 3 . Os vetores v = 1 , 1,0 e u = 0,1 , 1 são autovetores associados a λ 1 e λ 2 respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a λ 3 :

( a ) - 1,0 , 1

( b ) 2,1 , - 1

( c ) 2,3 , 1

( d ) 1 , - 2,1

Passo 1

O que você precisa lembrar pra resolver essa questão é que o mesmo autoespaço não pode estar associado à dois ou mais autovalores distintos! Sendo assim, como λ 1 , λ 2 e λ 3 são autovalores distintos, então o autovetor associado a λ 3 deve ser L I em relação à 1 , 1,0 e 0,1 , 1 !

Então vamos jogar todas as opções nas linhas de uma matriz junto com nossos vetores e tentar zerar elas:

1 1 0 0 1 1 - 1 0 1 2 1 - 1 2 3 1 1 - 2 1 → L 3 ← L 3 + L 1 L 4 ← L 4 - 2 L 1 L 5 ← L 5 - 2 L 1 L 6 ← L 6 - L 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 - 1 - 1 0 1 1 0 - 3 1 → L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 + L 2 L 5 ← L 5 - L 2 L 6 ← L 6 + 3 L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

Pronto, a única linha que não zerou foi a do 1 , - 2,1 , logo, ele é o único L I e portanto é o único que pode ser um autovetor associado a λ 3 .

Resposta

Letra ( d )

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