Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Considere o sistema A x → = b → , onde b → pode ser um vetor qualquer. Sabendo que os autovalores de A são 1 , - 1 e 0 , podemos afirmar que:

a   O sistema nem sempre tem solução

b   O sistema tem sempre solução única

c   O sistema tem sempre mais de uma solução

d   O sistema nunca tem solução

Passo 1

Tá, a única informação que temos são os autovalores da matriz né? E o que eles nos dizem? Bom, tem um que diz muita coisa! Ela tem o autovalor zero, logo dim ⁡ N u c A ≠ 0 !

Como A é quadrada (senão não faria sentido estarmos falando de autovalores), isso implica em uma série de coisas!

Por exemplo, quer dizer que A não é injetiva! Ou seja, não tem solução única, eliminando a b .

Também quer dizer que ela não é sobrejetiva!! Ou seja, não podemos garantir que ela sempre terá solução! Opa, então a certa é a a . Como A não é sobrejetiva nem sempre terá solução.

Resposta

Letra ( a )

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Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 4 - λ 3 - 7
Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 3 - 2 λ 2 + λ + 5
No Exercício 11, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 1 0 1 1 - 1 1
No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 12, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 6 4 0 0 4 0