Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

A matriz A 3 × 3 tem três autovalores distintos, λ 1 , λ 2 e λ 3 . Os vetores v = 1,1 , 0 e u = 0,1 , 1 são autovetores associados a λ 1 e λ 2 respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a λ 3 :

( a ) - 1,0 , 1

( b ) 2,1 , - 1

( c ) 2,3 , 1

( d ) 1 , - 2,1

Passo 1

O que você precisa lembrar pra resolver essa questão é que o mesmo autoespaço não pode estar associado à dois ou mais autovalores distintos! Sendo assim, como λ 1 , λ 2 e λ 3 são autovalores distintos, então o autovetor associado a λ 3 deve ser L I (Linearmente Independentes) em relação à 1,1 , 0 e 0,1 , 1 !

Para checar se os vetores são LI podemos montar uma matriz onde as duas primeiras linhas são os autovetores dados, e a terceira linha o vetor que queremos checar se é LI com os demais. Se conseguirmos zerar a matriz ele será LD, caso contrário, será LI.

Vamos começar pela letra (a), teremos a matriz:

1 1 0 0 1 1 - 1 0 1

Vamos fazer manipular a matriz com as operações elementares, por exemplo:

1 1 0 0 1 1 - 1 0 1 L 3 ← L 3 + L 1   1 1 0 0 1 1 0 1 1 L 3 ← L 3 - L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (a). Beleza?!

Passo 2

Letra (b)

Montando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 1 - 1

Manipulando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 1 - 1 L 3 ← L 2 - 2 L 1 1 1 0 0 1 1 0 - 1 - 1 L 3 ← L 3 + L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (b).

Passo 3

Letra (c)

Montando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 3 1

Manipulando a matriz:

1 1 0 0 1 1 2 3 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 L 3 ← L 3 - L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (c)

Passo 4

Só sobrou a letra (d) , então com certeza é a resposta certa, mas vamos ver o que acontece quando tentamos zerar a matriz.

Montando a matriz:

1 1 0 0 1 1 1 - 2 1

Manipulando a matriz:

1 1 0 0 1 1 1 - 2 1 L 3 ← L 3 - L 1 1 1 0 0 1 1 1 - 3 1 L 3 ← L 3 + 3 L 2 1 1 0 0 1 1 0 0 4

Não conseguimos zerar a última linha, logo, ele é o único L I com relação aos demais, e portanto é o que pode ser um autovetor associado a λ 3 .

Show de bola?!

Resposta

Letra ( d )

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