Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de A :

a   1 , - 1,1 T

b   1,1 , - 1 T

c   1,1 , 2 T

d   1,1 , - 2 T

Passo 1

Vamos escrever a matriz do enunciado:

A = a d a + d b e b + e c f c + f

Podemos calcular os autovalores e depois os autovetores da matriz, mas isso daria um bocado de trabalho.

Ao invés disso, perceba que a matriz CLARAMENTE é L D haha. Afinal somamos duas colunas pra formar ela. Bom, e o que isso quer dizer? Quer dizer um monte de coisas, mas o que nos interessa é que a dimensão do seu núcleo é maior que 1 . Isso quer dizer que ela possui o autovalor 0 ! Então vamos testar os autovetores das opções pra ver se algum zera ela ;)

Passo 2

a a d a + d b e b + e c f c + f 1 - 1 1 ≠ 0

b a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 - 1 = 0 0 0

Fim de papo, é a letra b .

Resposta

Letra ( b )

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