Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de A :

a   1 , - 1,1 T

b   1,1 , - 1 T

c   1,1 , 2 T

d   1,1 , - 2 T

Passo 1

Vamos escrever a matriz do enunciado:

A = a d a + d b e b + e c f c + f

Podemos calcular os autovalores e depois os autovetores da matriz, mas isso daria um bocado de trabalho.

Como somamos duas colunas para formar a terceira coluna essa matriz ela será LD (Linearmente Dependente), pois um vetor coluna é combinação linear dos outros dois.

Bom, e o que isso quer dizer? Quer dizer um monte de coisas, mas o que nos interessa é que a dimensão do seu núcleo é maior que 1 . Isso quer dizer que ela possui o autovalor 0 !

Desse modo, sabemos que os autovetores ( x ) tem que obedecer a seguinte equação:

A x = 0

Podemos então testar os autovetores das alternativas para ver qual das opções é solução para a equação acima. Beleza?!

Passo 2

Item (a)

a d a + d b e b + e c f c + f ∙ 1 - 1 1 = 2 a 2 b 2 c ≠ 0

Passo 3

Item (b)

Fazendo as continhas, temos

a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 - 1 = 0 0 0

Passo 4

Item (c)

a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 2 = 3 a + 3 d 3 b + 3 e 3 c + 3 f ≠ 0

Passo 5

Item (d)

a d a + d b e b + e c f c + f 1 1 - 2 = - a - d - b - e - c - f ≠ 0

Fim de papo, é a letra b . Show de bola?!

Resposta

Letra ( b )

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