Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 e seja b = 1,1 , 1 . O conjunto de soluções do problema A x = b é dado pelos vetores x ∈ R 3 da forma:

x = 1,2 , 3 + s 1,0 , 1 + t 3,4 , 5 ,   s , t ∈ R

Assinale a alternativa correta?

a   0 é autovalor de A e o autoespaço correspondente tem dimensão 1 .

b   0 é autovalor de A e o autoespaço correspondente tem dimensão 2 .

c   0 é autovalor de A e o autoespaço correspondente tem dimensão 3 .

d   0 não é autovalor de A .

Passo 1

Se liga no que ele deu pra gente, a solução geral! E sabemos que a solução geral é formada por uma solução particular somada à solução do sistema homogêneo, ou seja, somada ao núcleo!!

Então ele já deu o núcleo de A para gente. Os vetores do núcleo tem essa forma:

v = s 1,0 , 1 + t 3,4 , 5

E sabemos que os vetores do núcleo são autovetores associados ao autovalor 0 ! Então 0 é sim autovalor de A e o autoespaço correspondente tem a dimensão do núcleo. Como podemos ver, a dimensão do núcleo é 2 , então a resposta é a letra b .

Resposta

Letra ( b )

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