Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A   uma matriz 2 × 2 tal que:

(a) 1,1 é autovetor associado ao autovalor 1;

(b) 1 , - 1 é autovetor associado ao autovalor - 2 .

Se v = 5 , - 1 , então A v é igual a:

a) ( - 4,8 )

b)   ( 2,3 )

c) ( - 1 , 3 )

d) ( 2,0 )

Passo 1

Vou dizer que minha matriz A   é:

A = a b c d

E vou aplicar nela as informações que o enunciado me deu:

a b c d 1 1 = 1 1 1

a b c d 1 - 1 = - 2 1 - 1 = - 2 2

Vou passar esses sistemas para a forma de equações:

a + b = 1 c + d = 1                               a - b = - 2 c - d = 2

Juntando tudo:

a + b = 1 I c + d = 1 I I a - b = - 2 I I I c - d = 2 I V

Para resolver esse sistemão, vou somar I + ( I I ) e I I + I V , acho então que a = - 1 2 e c = 3 2 . Substituindo acho o valor das outras letras: b = 3 2 e d = - 1 2 .

Passo 2

Pronto, agora posso achar a matriz A   e aplicar o vetor 5 , - 1 para encontrar A ( 5 , - 1 ) !

A = a b c d = - 1 2 3 2 3 2 - 1 2

A 5 , - 1 = - 1 2 3 2 3 2 - 1 2 5 - 1 = - 4 8

Resposta

a

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