Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . Pode-se afirmar que:

a   Existem 3 autovetores linearmente independentes associados ao autovalor λ = 0 e λ = 4 também é um autovalor.

b Os autovalores de A são λ = 0 ,   λ = 1 e λ = 4 .

c   Existem 3 autovetores linearmente independentes associados ao autovalor λ = 0 e λ = 1 também é autovalor.

d   Existem 3 autovetores linearmente independentes associados ao autovalor λ = 1 e λ = 4 também é um autovalor.

Passo 1

Vamos lá, só de olhar pra matriz, já temos uma informação importante. Ela é L D , então têm que ter o autovalor 0 . Além disso, o autoespaço associado ao autovalor 0 é simplesmente o núcleo da matriz, que é dado por:

x + y + z + w = 0

Na real não precisamos calcular ele, basta percebermos que como temos 4 variáveis e 1 equação, ele tem dimensão 3 .

Beleza, até agora sabemos que a matriz tem o autovalor 0 associado à um autoespaço de dimensão 3 (formado por três vetores L I ). Isso já elimina a letra d .

Passo 2

Agora repare o seguinte, essa matriz é 4 × 4 certo? Então a soma de seus autoespaços deve ser no máximo igual a 4 . Também sabemos que cada autovalor diferente está associado à um autoespaço de dimensão de no mínimo 1 . Então vamos olhar a letra b :

λ = 0 ⏟ dim ⁡ 3 + λ = 1 ⏟ dim ⁡ 1 + λ = 4 ⏟ dim ⁡ 1 ⇒ dim ⁡ 5

Po, isso dá 5 no total. Não pode ser essa!

Então restam a a e a c . Ou em outras palavras, temos que descobrir se o outro autovalor é 4 ou 1 . A gente podia fazer a conta, mas ta bem fácil de ver que é o λ = 4 né?

É só fazermos A 1 , 1,1 , 1 = 4,4 , 4,4 = 4 1,1 , 1,1 . Então é a letra a .

Resposta

Letra a

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