Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

a matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

a   Da matriz T γ , calcule os autovalores e o autoespaço associado ao maior autovalor.

Passo 1

Primeiro vamos calcular os autovalores.

T γ - λ I = - 1 - λ 0 - 2 2 1 - λ 2 0 0 1 - λ

det ⁡ T γ - λ I = - 1 - λ 1 - λ 2 = 0 ⇒ λ = 1   o u   λ = - 1

Então basta calcular o autoespaço do autovalor λ = 1 .

Passo 2

Para λ = 1

- 2 0 - 2 2 0 2 0 0 0 a b c = 0 ⇒

- 2 a - 2 c = 0 2 a + 2 c = 0 ⇒ a = - c

x , y , z = a v 1 + b v 2 + c v 3 ⇒

x , y , z = c v 3 - v 1 + b v 2

V λ = 1 = s p a n { v 3 - v 1 , v 2 }

Resposta

V λ = 1 = s p a n { v 3 - v 1 , v 2 }

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