Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A ∈ M n × n uma matriz quadrada e v ∈ R n um autovetor de A associado ao autovalor λ = 3 . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. O vetor v é um autovetor de 2 A associado ao autovalor 6 .
  2. O vetor 2 v é um autovetor de A associado ao autovalor 6 .

a   I é falsa e I I é verdadeira

b   Ambas são verdadeiras

c   Ambas são falsas

d   I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Afirmação I :

Pega essa A aqui:

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

E esse v :

v = v 1 v 2 ⋮ v n

Como v é autovetor associado ao autovalor 3 :

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n v 1 v 2 ⋮ v n = v 1 a 11 + v 2 a 12 + … + v n a 1 n v 1 a 2 1 + v 2 a 2 2 + … + v n a 2 n ⋮ v 1 a n 1 + v 2 a n 2 + … + v n a n n = 3 v 1 3 v 2 ⋮ 3 v n

Agora vamos ver 2 A :

2 a 11 2 a 12 ⋯ 2 a 1 n 2 a 21 2 a 22 ⋯ 2 a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2 a n 1 2 a n 2 ⋯ 2 a n n v 1 v 2 ⋮ v n = 2 v 1 a 11 + 2 v 2 a 12 + … + 2 v n a 1 n 2 v 1 a 21 + 2 v 2 a 22 + … + 2 v n a 2 n ⋮ 2 v 1 a n 1 + 2 v 2 a n 2 + … + 2 v n a n n =

= 2 v 1 a 11 + v 2 a 12 + … + v n a 1 n 2 v 1 a 21 + v 2 a 22 + … + v n a 2 n ⋮ 2 v 1 a n 1 + v 2 a n 2 + … + v n a n n = 2 3 v 1 2 3 v 2 ⋮ 2 3 v n = 6 v 1 6 v 2 ⋮ 6 v n

Certinho então ;)

Passo 2

Afirmação I I :

Essa não vou nem provar porque sabemos que é falsa pela definição de autoespaço! Se v está associado ao autovalor 3 , qualquer múltiplo seu também estará! Então 2 v não pode estar associado ao autovalor 6 :p

Resposta

Letra d

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