Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Suponha que a matriz A 3 × 3   tem dois autovalores distintos, λ 1 e λ 2 , e que 1,2 , 3 e ( 3,2 , 1 ) são autovetores associados ao autovalores λ 1 . Quais dos vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a λ 2 ?

(a) ( 7,6 , 7 )

(b)   ( 5,6 , 7 )

(c) ( 6,8 , 10 )

(d)   ( 6,5 , 4 )

Passo 1

Os autovetores associados a autovalores diferentes não podem ser combinação um do outro! Assim, para um desses vetores ser autovetor associado a λ 2 , ele não pode ser C L de 1,2 , 3 e ( 3,2 , 1 ) .

Vamos testar um por um:

(a) ( 7,6 , 7 )

7,6 , 7 = a 1,2 , 3 + b 3,2 , 1

7 = a + 3 b   ( I ) 6 = 2 a + 2 b   ( I I ) 7 = 3 a + b   ( I I I )

Fazendo I I - 2 ( I ) obtemos - 4 b = - 8 , então b = 2 .

Substituindo para achar a em ( I I ) :

6 = 2 a + 4

2 a = 2

a = 1

Agora em ( I I I ) pra conferir:

7 = 3 a + 2

3 a = 5

a = 5 3

Opa, algo deu errado! Como a = 1 e a = 5 3 ao mesmo tempo? Impossível. Logo, esse vetor não é combinação dos dois podendo ser, então, um autovetor associado a λ 2 .

Resposta

a

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