Em cada item a seguir, determine os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo. Em seguida, encontre seus pontos de inflexão.

(a) f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo e determinar também seus pontos de inflexão. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4

Derivando ela em relação a x , vamos obter:

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 9

Derivando mais uma vez em relação a x , temos:

f ' ' x = 6 x - 6

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

6 x - 6 > 0

Isolando x :

6 x > 6 → x > 1

E quando f ' ' x < 0 , vamos ter:

6 x - 6 < 0

x < 1

Então, para x > 1 a nossa função tem concavidade voltada para cima e para x < 1 , temos a concavidade voltada para baixo. Além disso, para f ' ' x = 0 , vamos ter:

6 x - 6 = 0

6 x = 6 → x = 1

Logo, em x = 1 temos nosso ponto de inflexão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x > 1

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x < 1

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se