Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g ( x ) e em seguida determine o que se pede:

i v g x = ln ⁡ x x

e) Determine os intervalos para os quais o gráfico de g ( x ) é côncavo para cima ou para baixo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função g x = ln ⁡ x x , e pediu pra gente verificar os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.

Pra verificar esses intervalos, vamos calcular a segunda derivada da função e avaliar seu sinal. Avaliamos o sinal encontrando as raízes da expressão resultante da segunda derivada e atribuindo valores dentro dos intervalos correspondentes. Quando o sinal for negativo, a função é côncava pra baixo, onde for positiva, ela é côncava pra cima.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar calculando a derivada de g ( x ) usando a regra do quociente:

g ' x = 1 x x - 1 ( ln ⁡ x ) x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Derivando novamente, temos:

g ' ' x = - 1 x x 2 - 2 x 1 - ln ⁡ x x 4 =

g ' ' x = 2 ln ⁡ x - 3 x 3

Passo 3

Beleza, agora vamos analisar o sinal. Queremos saber quando g ' ' x > 0 e quando g ' ' x < 0 . Então vamos fazer:

2 ln ⁡ x - 3 x 3 > 0

Que resulta em:

2 ln ⁡ x - 3 > 0

ln ⁡ x > 3 2

Aplicando a exponencial dos dois lados, temos:

x > e 3 / 2

Então, temos o primeiro intervalo [ e 3 / 2 ,   ∞ ] .

Agora quando g ' ' x < 0 , temos:

2 ln ⁡ x - 3 x 3 < 0 →   ln ⁡ x < 3 2

Mas x é sempre positivo na função logaritmo, então temos:

0 < x < e 3 / 2

Nosso intervalo é ( 0 ,   e 3 / 2 ] .

Passo 4

Agora vamos testar o sinal escolhendo um valor dentro de cada intervalo. Podemos escolher os valores que forem mais convenientes. Por exemplo, para o primeiro intervalo, [ e 3 / 2 ,   ∞ ] , podemos usar e 2 e para o segundo intervalo, ( 0 ,   e 3 / 2 ] , podemos usar e . Assim, temos

g ' ' e 2 = 2 ln ⁡ e 2 - 3 e 3 = 2 2 - 3 e 3 = 1 e 3

E

g ' ' e = 2 ln ⁡ e - 3 e 3 = - 1 e 3

Como g ' ' e 2 > 0 , a concavidade é voltada para cima no intervalo [ e 3 / 2 ,   ∞ ] . E como g ' ' e < 0 , a concavidade é voltada para baixo em ( 0 ,   e 3 / 2 ] .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → [ e 3 / 2 ,   ∞ ]

c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   ( 0 ,   e 3 / 2 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se