Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       72 x 3 + ln ⁡ x 2  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 216 x 2 + 1 x 2 x 2 ' = 216 x 2 + 2 x x 2 = 216 x 2 + 2 x

E a segunda derivada:

f ' ' x = 432 x - 2 x 2

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador do segundo termo, vemos que x = 0 é um ponto que dá problema. Até porque 2 0 é uma indeterminação!

Show, então vamos guardar esse ponto no bolso e vamos partir pros pontos que zeram a segunda derivada, beleza? Simbora:

f ' ' x = 432 x - 2 x 2 = 0

432 x = 2 x 2

432 x 3 = 2

x 3 = 2 432 = 1 216

x = 1 6

E temos só um ponto de inflexão!

Passo 3

Agora que a gente sabe o ponto de inflexão vamos testar alguns valores pra vermos o sinal da derivada, ok? Os valores, já que temos x = 1 6 e x = 0 como pontos interessantes, vão ser valores nesses intervalos:

x < 0

0 < x < 1 6

x > 1 6

Pro primeiro intervalo, vamos testar x = - 1

f ' ' - 1 = 432 - 1 - 2 - 1 2 = - 432 - 2 = - 434 < 0

Pro segundo intervalo, vamos testar x = 0,1

f ' ' 0,1 = 432 0,1 - 2 0,1 2 = 43,2 - 200 = - 156,8 < 0

E pro último, vamos testar x = 1 :

f ' ' 1 = 432 1 - 2 1 2 = 432 - 2 = 430 > 0

Como a concavidade é pra cima quando f ' ' x > 0 e pra baixo quando f ' ' x < 0 , vamos ficar com:

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   - ∞   ;   0 ∪ 0   ; 1 6  

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   1 6   ;   + ∞

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   - ∞   ;   0 ∪ 0   ; 1 6  

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   1 6   ;   + ∞

Pontos de inflexão:

x = 1 6

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se