O gráfico da função derivada f ' de uma função contínua f é dado abaixo

  1. Em que intervalos f tem concavidade voltada para cima? E concavidade voltada para baixo?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um gráfico de uma função derivada f ' de uma função contínua f :

Queremos saber em que intervalos f tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo.

Para isso, temos que saber que a concavidade de uma função é dada pelo sinal da derivada segunda.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... Se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Como a derivada segunda aponta o crescimento e decrescimento da derivada primeira, então quando a derivada segunda for negativa, a derivada primeira será decrescente e caso seja positiva, a derivada primeira será crescente.

Então bora ver o gráfico aqui:

Dessa forma, analisando o gráfico, podemos ver que f ' x tem concavidade voltada para cima nos intervalos 5 ; 6 - e 6 + ; ∞ (em vermelho) e concavidade voltada para baixo no intervalo 0 ; 3 (em azul).

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Concavidade para cima em 5 ; 6 - e 6 + ; ∞

Concavidade para baixo em 0 ; 3

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Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se