Seja f x = x 2 - 9 x 2 - 4

(b) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de concavidade da função e seus pontos de inflexão.

Bom, tanto pra analisar a concavidade da função, quando pra determinar seus pontos de inflexão, vamos precisar da derivada segunda.

Isso porque, pelo teste da segunda derivada, temos que:

S e   f ' ' x = 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

Pra saber em que intervalos essa função é côncava pra cima ou pra baixo, também precisamos da segunda derivada, porque nos intervalos onde ela for positiva a concavidade será para cima e nos intervalos onde for negativa, a concavidade será para baixo. Então, vamos estudar seu sinal.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função f x = x 2 - 9 x 2 - 4 . Pra isso vamos usar a regra do quociente na derivação:

f ' x = x 2 - 9 ' x 2 - 4 - x 2 - 9 x 2 - 4 ' x 2 - 4 2

f ' x = 2 x x 2 - 4 - 2 x ( x 2 - 9 ) x 2 - 4 2 = 10 x x 2 - 4 2

Derivando f ' x = 10 x x 2 - 4 2 , também usando a regra do quociente, temos a segunda derivada:

f ' ' x = 10 x ' x 2 - 4 2 - 10 x x 2 - 4 2 ' x 2 - 4 4

f ' ' x = 10 x 2 - 4 2 - 10 x [ 4 x x 2 - 4 ] x 2 - 4 4 = 10 ( - 3 x 2 - 4 ) x 2 - 4 3

Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar possíveis pontos de inflexão:

10 ( - 3 x 2 - 4 ) x 2 - 4 3 = 0

→ 10 ( - 3 x 2 - 4 ) = 0  

- 3 x 2 - 4 = 0

Isolando x , teríamos:

- 3 x 2 = 4

x 2 = - 4 3

O que nos geraria valores complexos. Então, podemos dizer que nossa função não tem pontos de inflexão.

Passo 3

Agora vamos vericar os intervalos onde a segunda derivada, f ' ' x = 10 ( - 3 x 2 - 4 ) x 2 - 4 3 , é positiva ou negativa. Para f ' ' x > 0 , temos:

10 ( - 3 x 2 - 4 ) x 2 - 4 3 > 0

Como já sabemos que não temos raízes reais no numerador, vamos verificar o sinal apenas do denominador, fazendo:

x 2 - 4 3 > 0

x 2 - 4 > 0

x 2 > 4 → x > ± 2

Ou seja, para f ' ' x > 0 , temos:

- 2 < x < 2

De modo semelhantes, para f ' ' x < 0 , vamos ter:

x 2 - 4 3 < 0

x 2 - 4 < 0

x 2 < 4

Então,

  x < - 2   o u   x > 2

Isso significa que no intervalo ( - 2 ,   2 ) , nossa função tem concavidade voltada para cima e no intervalo - ∞ ,   - 2 ∪ ( 2 ,   + ∞ ) nossa função tem concavidade para baixo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   p o s s u i   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → - 2 ,   2

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - ∞ ,   - 2 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

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