Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g ( x ) e em seguida determine o que se pede:

i v g x = ln ⁡ x x

g) Quais os pontos de inflexão do gráfico?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função g x = ln ⁡ x x , e pediu pra gente verificar os pontos de inflexão do gráfico.

O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal. Então, vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar esse ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar calculando a derivada de g ( x ) usando a regra do quociente:

g ' x = 1 x x - 1 ( ln ⁡ x ) x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Derivando novamente, temos:

g ' ' x = - 1 x x 2 - 2 x 1 - ln ⁡ x x 4 =

g ' ' x = 2 ln ⁡ x - 3 x 3

Agora para g ' ' x = 0 , vamos ter:

2 ln ⁡ x - 3 x 3 = 0

2 ln ⁡ x - 3 = 0

ln ⁡ x = 3 2

Aplicando a exponencial dos dois lados, temos:

x = e 3 / 2

Portanto, x = e 3 / 2 é nosso ponto de inflexão.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = e 3 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se