Estude a função f ( x ) dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

k) f x = x 3 x 2 + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para estudar a função f x = x 3 x 2 + 1 dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Lembrando que o ponto de inflexão é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal (de mais para menos e de menos para mais)

Para isso, precisamos descobrir a primeira e a segunda derivada para depois analisar o ponto de inflexão.

Não entendeu? Então bora junto!!😉

Passo 2

Bom... fazendo a primeira e a segunda derivada, temos

f ' x = x 4 + 3 x 2 x 2 + 1 2 ∴

f ' ' x = 6 x - 2 x 3 x 2 + 1 3

Igualando f ' ' x a zero, temos:

6 x - 2 x 3 x 2 + 1 3 = 0 ∴

x = 0

x = ± 3

Logo, temos que:

  • Para x = 0 , então f 0 = 0 ;
  • Para x = 3 , então f 3 = 3 3 4 ;
  • Para x = - 3 , então f - 3 = - 3 3 4 .

Que são os pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, analisando f ' ' x , vemos que muda de sinal da seguinte forma:

  • Se x < - 3 , então f ' ' x > 0 ⇒ concavidade para cima;
  • Se - 3 < x < 0 , então f ' ' x < 0 ⇒ concavidade para baixo;
  • Se 0 < x < 3 , então f ' ' x > 0 ⇒ concavidade para cima;
  • Se x > 3 , então f ' ' x < 0 ⇒ concavidade para baixo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se