Seja f x = - x 4 x 4 - 4

(b) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de concavidade da função e seus pontos de inflexão.

Bom, tanto pra analisar a concavidade da função, quando pra determinar seus pontos de inflexão, vamos precisar da derivada segunda.

Isso porque, pelo teste da segunda derivada, temos que:

S e   f ' ' x = 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

Pra saber em que intervalos essa função é côncava pra cima ou pra baixo, também precisamos da segunda derivada, porque nos intervalos onde ela for positiva a concavidade será para cima e nos intervalos onde for negativa, a concavidade será para baixo. Então, vamos estudar seu sinal.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função f x = - x 4 x 4 - 4 . Pra isso vamos usar a regra do quociente na derivação:

f ' x = - 4 x 3 x 4 - 4 - 4 x 3 ( x 4 ) x 4 - 4 2

f ' x = - 4 x 7 - 16 x 3 - 4 x 7 x 4 - 4 2 = 16 x 3 x 4 - 4 2

Derivando f ' x = 16 x 3 x 4 - 4 2 , também usando a regra do quociente, temos a segunda derivada:

f ' ' x = 48 x 2 x 4 - 4 2 - 8 x 3 x 4 - 4 16 x 3 x 4 - 4 4

f ' ' x = 48 x 2 x 4 - 4 - 12 8 x 6 x 4 - 4 3

Aplicando a distributiva e simplificando:

f ' ' x = 48 x 6 - 192 x 2 - 128 x 6 x 4 - 4 3 = - 192 x 2 - 8 0 x 6 x 4 - 4 3 = 16 x 2 ( - 5 x 4 - 12 ) x 4 - 4 3

Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar os pontos de inflexão:

16 x 2 - 5 x 4 - 12 x 4 - 4 3 = 0

→ 16 x 2 - 5 x 4 - 12 = 0  

Pra que esse produto seja verdade 16 x 2 precisa ser igual a zero ou - 5 x 4 - 12 precisa ser igual a zero. Para o primeiro termo, temos:

16 x 2 = 0 → x 2 = 0 → x = 0

E igualando o segundo termo a zero:

- 5 x 4 - 12 = 0

- 5 x 4 = 12 → x 4 = - 12 5

Mas isso nos geraria raízes complexas. Então, nesse caso temos nosso ponto de inflexão apenas em x = 0 .

Passo 3

Agora vamos estudar o sinal dessa segunda derivada, para determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Para f ' ' x = 16 x 2 ( - 5 x 4 - 12 ) x 4 - 4 3 , vamos super que a derivada seja positiva e encontrar os valores equivalentes de x onde isso acontece. Assim, temos:

Para f ' ' x > 0 :

16 x 2 ( - 5 x 4 - 12 ) x 4 - 4 3 > 0 →   - 2 < x < 0

Ou

0 < x < 2

E de modo semelhantes, para f ' ' x < 0 :

16 x 2 ( - 5 x 4 - 12 ) x 4 - 4 3 < 0

→ x < - 2   o u   x > 2

Sendo assim, nossa função tem concavidade voltada para cima nos intervalos - 2 ,   0 ∪ ( 0 ,   2 ) e tem concavidade voltada para baixo em - ∞ ,   - 2 ∪ ( 2 ,   + ∞ ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 0

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → - 2 ,   0 ∪ ( 0 ,   2 )

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - ∞ ,   - 2 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

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