Exercícios Resolvidos de Concavidade

UERJ - Cálculo 1 - Professora Renata - Lista Derivadas – 16 - Modificado

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       2 x 2 + 3  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 2 ' x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 ' x 2 + 3 2 = - 4 x x 2 + 3 2

Olha lá, usando a regra do quociente, a segunda derivada:

f ' ' x = - 4 x ' x 2 + 3 2 - - 4 x x 2 + 3 2 ' x 2 + 3 2 2

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 ' x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 2 x x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 16 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 4

Dividindo em cima e em baixo por x 2 + 3 , temos:

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 - - 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = - 4 x 2 - 12 + 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x 2 + 3 3

E por fim:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3

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Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador primeiro, o termo ( x 2 + 3 ) por si só não tem raiz e é sempre positivo. Quando elevado ao cubo ele se mantém sempre positivo. No fim, tudo se resume ao sinal do termo superior:

x 2 - 1

Para analisarmos o sinal do termo superior, vamos fazer as raízes de f ' ' x , vamos ter:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Com essas raízes, temos 3 intervalos pra checar:

- ∞ , - 1 ; - 1,1 ; ( 1 , ∞ )

Testamos o sinal escolhendo um valor dentro de cada um desses intervalos, como a segunda derivada só muda de sinal nas raízes, o sinal de qualquer valor escolhido dentro de cada intervalo será verdade para todo o intervalo. Agora, qual valor escolher? O que for mais conveniente.

Passo 3

Dá para gente escolher x = - 2 para o primeiro, x = 0 para o segundo e x = 2 para o terceiro. Vamos lá:

f ' ' - 2 = 12 3 7 3 > 0   ; f ' ' 0 = 12 - 1 3 3 < 0   ; f ' ' 2 = 12 3 7 3 > 0

Ora, vemos que f ' ' x só é negativa dentro do intervalo [ - 1,1 ] . Isso significa que a função é côncava para cima para todo x , menos quando x ∈ [ - 1,1 ] , onde ela é côncava para baixo.

O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal e, portanto, aquelas raízes que a gente achou:

x = 1 ; x = - 1

Se você prefere pelo quadro de sinais:

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - ∞ , - 1 ∪ ( 1 , + ∞ )   ;   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   ( - 1,1 )

Pontos de inflexão:

x = 1 ; x = - 1

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