Seja y = f ( x ) uma função definida em R \ { 0 } , contínua em todo o seu domínio e satisfazendo as condições abaixo:

f - 5 = 2 ,   f - 4 = 1 ,   f - 3 = 3 ,   f - 3 2 = 4 e lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Suponha que o gráfico de f ' ( x ) é dado pela figura abaixo:

Responda, justificando, o que se pede:

e )   os pontos de inflexão, caso existam;

Passo 1

Olá gente bonita, tudo bem?

Nessa questão temos uma função f ( x ) , com a informação de algum dos seus pontos:

f - 5 = 2 f - 4 = 1 f - 3 = 3 f - 3 2 = 4

Também foi dado o gráfico da derivada de f ( x ) , ou seja, f ' x .

Além disso, o enunciado também nos falou que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Nesse item precisamos determinar os pontos de inflexão.

Ou seja, são os pontos em que há mudança na concavidade da função. Basicamente, a segunda derivada é nula, ou f ' ( x ) está em pontos de mudança do sentido do seu crescimento.

No item anterior, determinamos os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo.

Para determinar os pontos de inflexão, basta vermos os pontos em que houve essa mudança, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

No item anterior, encontramos os seguintes intervalos de concavidade:

c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a :       - ∞ ,   - 5 ∪ - 5 ,   - 3 ∪ - 3 2 , 0

c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o :   - 3 ,   - 3 2 ∪ 0 ,   +   ∞

Portanto, os pontos em que houve uma mudança da “concavidade para cima” pra “concavidade para baixo” (e vice-versa), foram os pontos:

x 1 = - 3

x 2 = - 3 2

Esses são justamente os pontos de máximo ou mínimo relativo da derivada de f . Ou seja, os pontos em que f ' ' x = 0 .

Uma observação importante é que, apesar da concavidade mudar antes e depois de x = 0 , como esse ponto não pertence ao domínio de f ( x ) ele não é considerado um ponto de inflexão.

Prontinho pessoal! Esses são os dois pontos de inflexão do gráfico de f .

Valeeeu, até mais!

Resposta

x 1 = - 3

x 2 = - 3 2

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se