Exercícios Resolvidos de Concavidade

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 302-78.

O que se pode dizer sobre o gráfico de uma função y = f ( x ) que possui uma segunda derivada contínua que nunca é zero? Justifique sua resposta.

Passo 1

Bem, a questão está perguntando sobre a influência da segunda derivada no gráfico, dadas as condições.

Vimos na teoria que a segunda derivada está relacionada com a concavidade do gráfico, então temos que concluir algo a respeito disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pois bem, quais são as informações quanto à segunda derivada? Ela é contínua e nunca é zero.

Ok, para uma segunda derivada contínua (e qualquer função contínua no geral) mudar de sinal, ela precisa passar por zero (ser igual à zero) em algum momento.

Do contrário, ela saltaria de um valor negativo para um positivo ou vice-versa e isso não pode, pois a segunda derivada é continua e, sendo assim, não dá saltos.

Assim, como a segunda derivada nunca é zero, ela não muda nunca de sinal.

Finalmente, se a segunda derivada nunca muda de sinal, o gráfico terá sempre a mesma concavidade, para cima ou para baixo ;-).

Resposta

Ela não muda sua concavidade

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