Seja f x = x e x

(b) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e seus pontos de inflexão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de concavidade da função e seus pontos de inflexão.

Bom, tanto pra analisar a concavidade da função, quando pra determinar seus pontos de inflexão, vamos precisar da derivada segunda.

Isso porque, pelo teste da segunda derivada, temos que:

S e   f ' ' x = 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

Pra saber em que intervalos essa função é côncava pra cima ou pra baixo, também precisamos da segunda derivada, porque nos intervalos onde ela for positiva a concavidade será para cima e nos intervalos onde for negativa, a concavidade será para baixo. Então, vamos estudar seu sinal.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função f x = x e x . Pra isso vamos usar a regra do produto na derivação:

f ' x = x ' e x + x e x '

f ' x = e x + x e x

Derivando f ' x = e x + x e x , também usando a regra do produto no segundo termo, temos a segunda derivada:

f ' ' x = e x ' + [ x ' e x + x e x ' ]

f ' ' x = e x + e x + x e x

f ' ' x = 2 e x + x e x

Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar possíveis pontos de inflexão:

2 e x + x e x = 0

→ e x ( 2 + x ) = 0  

Como e x nunca é zero, temos:

2 + x = 0

→ x = - 2

Então, em x = - 2 , temos um ponto de inflexão da função.

Passo 3

Agora vamos vericar os intervalos onde a segunda derivada, f ' ' x = 2 e x + x e x , é positiva ou negativa. Para f ' ' x > 0 , temos:

2 e x + x e x > 0

e x 2 + x > 0

2 + x > 0 → x > - 2

De modo semelhantes, para f ' ' x < 0 , vamos ter:

2 e x + x e x < 0

e x 2 + x < 0

2 + x < 0 → x < - 2

Isso significa que no intervalo ( - 2 ,   + ∞ ) , nossa função tem concavidade voltada para cima e no intervalo - ∞ ,   - 2 nossa função tem concavidade para baixo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P o n t o   d e   i n f l e x ã o →   x = - 2

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → ( - 2 ,   + ∞ )

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - ∞ ,   - 2

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