Dada a função f x = - 2 x 3 + 6 x 2 - 3 . Determine:

b) concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar a concavidade da função e seus pontos de inflexão.

Pra testar se uma função é côncava para cima ou para baixo, precisamos calcular a segunda derivada da função. Dessa forma, o teste da concavidade nos diz que:

Se f ' ' x > 0 , para todo x no intervalo, então f é concavo para cima.

Se f ' ' x < 0 , para todo x no intervalo, então f é concavo para baixo.

E nós vamos ter um ponto de inflexão se a função for contínua no ponto P e mudar de concava pra cima para concava pra baixo em P , ou vice-versa.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada da função f x = - 2 x 3 + 6 x 2 - 3 :

f ' x = - 6 x 2 + 12 x

Derivando novamente, temos:

f ' ' x = - 12 x + 12

Quando f ' ' é positiva, a função tem concavidade para cima, então vamos verificar o intervalo fazendo f ' ' x > 0 :

- 12 x + 12 > 0

- 12 x > - 12

x > 1

Para f ' ' x < 0 , temos:

- 12 x + 12 < 0

- 12 x < - 12

x < 1

Logo, f tem concavidade voltada pra cima para valores de x no intervalo ( 1 ,   ∞ ) e concavidade para baixo para valores de x no intervalo ( - ∞ ,   1 ) . Como a função muda de concava pra cima para concava pra baixo em 1 , então nosso ponto de inflexão é x = 1 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 ,   ∞ → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

- ∞ ,   1 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

x = 1 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

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Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se