Disserte sobre como as derivadas afetam a forma de um gráfico. O seu texto deve responder as seguintes perguntas:

I. O que f ' x diz sobre f x ?

II. O que f ' ' x diz sobre f x ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse problema é completamente teórico e vamos discutir um pouco o que as derivadas de uma função dizem sobre ela.

A primeira ideia que precisamos lembrar é que a derivada f ' x de uma função nada mais é que a taxa de variação da função f x . Uma analogia muito boa é pensar que f descreve a posição de um corpo e sua derivada representa a velocidade, isto é, a taxa de variação da posição com relação ao tempo.

Se f ' x > 0 , a taxa de variação da função é positiva, de modo que um aumento da variável x representará um aumento no valor da função. Isso significa que a função é crescente nessa região.

Da mesma forma, se f ' x < 0 , a taxa de variação é negativa, indicando que a função é decrescente nesse ponto, isto é, para um aumento no valor de x , o valor da função diminui.

Além disso, se f ' x = 0 temos o chamado ponto crítico: é um ponto em que a reta tangente ao gráfico da função é horizontal e a taxa de variação da função é nula! Esses pontos podem ser pontos de máximo ou mínimo e tem grande importância no estudo das funções!

Passo 2

Assim como f ' x representa a taxa de variação de f x , podemos dizer que f ' ' x representa a taxa de variação de f ' x . Podemos dizer que f ' ' x é a taxa de variação da taxa de variação de f x . A analogia aqui é: enquanto f x representa a posição de um corpo e f ' x representa sua velocidade, f ' ' ( x ) é a aceleração.

Do ponto de vista gráfico, a segunda derivada f ' ' x dará informações sobre a concavidade do gráfico de f x .

Se f ' ' x > 0 , a concavidade da função será para cima (pensa na parábola feliz). Já para f ' ' x < 0 , a concavidade será para baixo (parábola triste). Os pontos em que f ' ' x = 0 são chamados de pontos de inflexão: neles geralmente há uma mudança de concavidade!

Resposta

Explicação.

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se