1. Defina:
  1. Ponto de inflexão.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, a questão pede para definir o que é o ponto de inflexão do gráfico de uma função. Correto?

Mas o que é essa tal inflexão?

Vem comigo que te ajudo com isso.

Passo 2

O ponto de inflexão de uma função pode ser entendido como o ponto onde a função troca de concavidade, ou seja, ela muda seu comportamento, se a concavidade estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas e como eu acho esse ponto?

Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Ela nos informa bastante coisa, como por exemplo a classificação dos pontos críticos de uma função dizendo se ele é um ponto de mínimo e a concavidade é para cima com f ' ' > 0 , e se ele é um ponto de máximo e a concavidade é para baixo com f ' ' < 0 . Mas quando f ' ' x = 0 diremos que esse é um ponto de inflexão.

Um exemplo bacana de concavidade é a função x 3 . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:

Pois temos que f ' x = 3 x 2 e, portanto, f ' ' x = 6 x . Agora, qual o valor de x pra que f ' ' x = 0 ? Ou seja, qual a raiz de f ' ' ( x ) ?

Nesse caso, a raiz da derivada segunda, f ' ' x = 6 x , é x = 0 . Assim, o ponto x = 0 é um ponto de inflexão pra função x 3 . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.

Pegou a ideia direitinho? Então fechou!!! Partiu próxima questão!

Resposta

No desenvolvimento.

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se