Determine se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.

a) Se f ' ' a = 0 , então a ,   f a é ponto de inflexão do gráfico de f .

b) Se f ' ' a < 0 , então f ' a < 0 .

Passo 1

a) Essa proposição é falsa ok? Vamos provar isso com um contra exemplo.

Vamos supor a função f x = x 4 e o valor de a = 0

Temos f ' x = 4 x ³ e f ' ' x = 12 x ² , e, de fato, f ' ' a = f ' ' 0 = 12.0 ² = 0 , de acordo com as condições iniciais da proposição não é?

A proposição diz que a ,   f a é ponto de inflexão de f :

a ,   f a = 0 ,   0 4 = ( 0 ,   0 )

Será que realmente ( 0 ,   0 ) é ponto de inflexão de f ?

Passo 2

Vamos estudar o sinal da segunda derivada de f

f ' ' x = 12 x ²

Quando 12 x ² é positivo (concavidade pra cima) e quando é negativo (concavidade pra baixo)?

Cara, a gente tem um x ² aí nessa segunda derivada, então ela seeeeempre vai ser positiva, qualquer número ao quadrado é positivo!! Ou seja, se a segunda derivada da função x 4 sempre é positivda, a função x 4 sempre vai ter concavidade pra cima :O o que isso quer dizer? Que x 4 não tem ponto de inflexão hehe

Logo, a ,   f a = ( 0 ,   0 ) não é um ponto de inflexão de x 4 . Olha aí o gráfico bonitão dessa função:

Passo 3

b) Essa proposição é falsa também hein! Olha um contra exemplo:

Se f ' ' x = - 4 , ou seja, uma contante, e escolhermos a = - 3 . Temos

f ' ' a = f ' ' - 3 = - 4 < 0

Observe que como f ' ' ( x ) é constante, ele vai ser - 4 pra qualquer valor de x , afinal, não tem x na expressão hahahaha

Se f ' ' x = - 4 , então

f ' x = ∫ - 4   d x = - 4 x .

Agora vamos fazer f ' ( a ) , conforme fala o enunciado:

f ' - 3 = - 4 . - 3 = 12 > 0

Como f ' a > 0 , a proposição não é satisfeita.

Resposta

a) Falsa

b) Falsa

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se