Seja y = f ( x ) uma função definida em R \ { 0 } , contínua em todo o seu domínio e satisfazendo as condições abaixo:

f - 5 = 2 ,   f - 4 = 1 ,   f - 3 = 3 ,   f - 3 2 = 4 e lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Suponha que o gráfico de f ' ( x ) é dado pela figura abaixo:

Responda, justificando, o que se pede:

d ) os intervalos onde o gráfico de f possui concavidade para cima e onde possui concavidade para baixo.

Passo 1

Faaaala galera do nosso Brasil Varonil, como vocês estão?

Nessa questão temos uma função f ( x ) , com a informação de algum dos seus pontos:

f - 5 = 2 f - 4 = 1 f - 3 = 3 f - 3 2 = 4

Também foi dado o gráfico da derivada de f ( x ) , ou seja, f ' x .

Além disso, o enunciado também nos falou que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Nesse item precisamos determinar os intervalos do gráfico em que a concavidade da curva é para cima, e para baixo.

É importante a gente lembrar que a concavidade é determinada pela segunda derivada da função.

Assim, vamos analisar o gráfico de f ' ( x ) e verificar os intervalos em que f ' ( x ) é crescente (concavidade para cima), ou decrescente (concavidade para baixo).

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos analisar o gráfico:

Em quais trechos a nossa função derivada, f ' ( x ) , é crescente?

- ∞ ,   - 5 ∪ - 5 ,   - 3 ∪ - 3 2 , 0

Nesses trechos a concavidade é virada para cima.

Em quais trechos a nossa função derivada, f ' ( x ) , é decrescente?

- 3 ,   - 3 2 ∪ 0 ,   +   ∞

Nesses trechos a concavidade da função é para baixo.

Prontinho!

Obrigado pela atenção gente!

Resposta

c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a :       - ∞ ,   - 5 ∪ - 5 ,   - 3 ∪ - 3 2 , 0

c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o :   - 3 ,   - 3 2 ∪ 0 ,   +   ∞

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