Considere a função f : I R - 0 → I R dada por:

f x = - x - 1 + 1 x - 1 x 2

É correto afirmar que f tem concavidade pra cima em:

  1. ] - 2 , - 3 2 [
  2. ] 5 2 , 3 [
  3. ] - 5 2 , - 2 [
  4. ] 3 , 7 2 [
  5. ] 1 , 3 2 [

Passo 1

Bora começar. Primeiro de tudo, como a função quer saber em que intervalo a função tem concavidade pra cima, na verdade na verdade o que ela ta pedindo é pra você dizer em que valores de x vale:

f ' ' x > 0

Então não tem jeito, vamos ter que derivar! Mão na massa!

f ' x = - x - 1 + 1 x - 1 x 2 ' = - x 3 x 2 - x 2 x 2 + x x 2 - 1 x 2 '

f ' x = - x 3 - x 2 + x - 1 x 2 '

Pela regra do quociente:

f ' x = - x 3 - x 2 + x - 1 ' x 2 - - x 3 - x 2 + x - 1 x 2 ' x 4

f ' x = - 3 x 2 - 2 x + 1 x 2 - - x 3 - x 2 + x - 1 2 x x 4

f ' x = - 3 x 2 - 2 x + 1 x - - x 3 - x 2 + x - 1 2 x 3

f ' x = - 3 x 3 - 2 x 2 + x - - 2 x 3 - 2 x 2 + 2 x - 2 x 3

Continuando, temos:

f ' x = - 3 x 3 - 2 x 2 + x + 2 x 3 + 2 x 2 - 2 x + 2 x 3

f ' x = - x 3 - x + 2 x 3

Passo 2

Ok, mas não queremos falar da primeira derivada e sim da segunda né? Então vamos derivar mais uma vezinha. Pela regra do quociente de novo, temos:

f ' ' x = - x 3 - x + 2 x 3 '  

f ' ' x = - x 3 - x + 2 ' x 3 - - x 3 - x + 2 x 3 '   x 6

f ' ' x = - 3 x 2 - 1 x 3 - - x 3 - x + 2 3 x 2   x 6

f ' ' x = - 3 x 5 - x 3 - - 3 x 5 - 3 x 3 + 6 x 2 x 6

E continuando com a manipulação:

f ' ' x = - 3 x 5 - x 3 + 3 x 5 + 3 x 3 - 6 x 2 x 6

f ' ' x = 2 x 3 - 6 x 2 x 6

f ' ' x = 2 x - 6 x 4

Passo 3

Agora vamos interpretar tudo que achamos. A segunda derivada da função é:

f ' ' x = 2 x - 6 x 4

E ela zera somente em x = 3 , pois esse é o valor de x que zera o numerador. Pra saber então o sinal da segunda derivada vamos analisar ela em intervalos que envolvam esse ponto e o ponto x = 0 já que ele não está definido? Beleza? Os intervalos vão ser:

- ∞ , 0

0,3

3 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 4 , pro segundo x = 1 e pro terceiro x = 4 . Vamos ter:

f ' ' - 4 = 2 - 4 - 6 - 4 4 = - 7 128 < 0

f ' ' 1 = 2 1 - 6 1 4 = - 4 < 0

f ' ' 4 = 2 4 - 6 4 4 = 1 128 > 0

Como uma função tem concavidade pra cima somente no intervalo em que f ' ' x > 0 , dos intervalos do enunciado, somente o intervalo:

] 3 , 7 2 [

Se enquadra, pois ele é o único que está contido no intervalo 3 , + ∞ onde f ' ' x > 0 . A letra certa então é a D !

Resposta

L e t r a   D

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se