4) Considere a função h x = l n ⁡ ( 1 - x 2 ) , definida para - 1 < x < 1 . (Não precisa provar esse fato.)

a) Determine as assíntotas horizontais do gráfico de h , ou justifique sua inexistência. Idem, considerando as assíntotas verticais.

b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função h . Determine ainda os pontos de máximo e de mínimo de h (se houver), indicando se são absolutos (globais) ou relativos (locais).

c) Determine os intervalos de concavidade para cima ou para baixo do gráfico de h . Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).

d) Usando as informações obtidas nos itens anteriores esboce o gráfico de h . Deve incluir as assíntotas encontradas, e deve destacar os pontos notáveis obtidos junto com suas coordenadas.

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, a questão deu a função h x = l n ⁡ ( 1 - x 2 ) , definida para - 1 < x < 1 e pediu uma sequência de coisas pra gente calcular. Se seguirmos procurando cada um dos itens pedidos faremos uma análise bem completa de quem é essa função. Então vamos desenvolver isso juntinhos nos próximos passos. Beleza?

Então esse é o plano. Vem que te mostro como fazer.

Passo 2

a) Na letra a) precisamos determinar, caso seja possível, as assíntotas horizontais, e pra fazermos isso o que precisamos é saber se a função se aproxima de algum valor quando fazemos o x ir para + ∞ ou - ∞ . Se isso acontecer, nossa função terá uma reta horizontal ao qual ela ficará muito próxima, porém sem nunca tocar.

Um jeito de descobrir isso é calcular o limite da função quando x tende a ±   ∞ .

Assim,

lim x → - ∞ ⁡ l n ⁡ ( 1 - x 2 )

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( 1 - x 2 )

Porém esses limites não estão definidos no conjunto do números reais, uma vez que teríamos o ln ⁡ de um valor negativo.

Essa mesma questão também pede pra gente determinar as assíntotas verticais caso existam, e a ideia aqui é pensar de modo parecido e procura uma reta vertical ao qual a função se aproxima, porém se nunca tocar. Pra gente conseguir fazer isso vamos procurar algum ponto onde a função não esteja definida.

Já temos uma dica do item anterior, já que não podemos calcular o logaritmo natural de um valor menor ou igual a zero. Vamos que a função explode nos valores de x que tornam o que está dentro do logaritmo natural menor ou igual a zero.

Veja:

h x = l n ⁡ ( 1 - x 2 )

assim,

1 - x 2 ≥ 0

E

x ≤ ± 1

Ou seja, temos duas assíntotas verticais no intervalo dado, uma em x = 1 e outra em x = - 1 .

Passo 3

b) Na letra b) precisamos determina os intervalos de crescimento e decrescimento da função, e fazemos isso com um estudo de sinal da derivada da função, uma vez que quando a função é crescente sua derivada é positiva e quando a função é decrescente sua derivada é negativa. Assim, faremos:

h x = l n ⁡ ( 1 - x 2 )

e

h ' x = - 2 x 1 - x 2

Perceba que o denominador dessa fração é sempre positivo, já que, pelo que vimos no item anterior, 1 - x 2 ≥ 0 . Então a derivada será positiva para valores de (-1,0) e a função será crescente nesse intervalo, já para valores de (0,1) a derivada será negativa e a função será decrescente.

Os pontos críticos acontecem quando a função tem derivada igual a zero, e isso acontecerá para valores de x = 0 . Como antes desse ponto a derivada da função era positiva e depois dele ela passou a ser negativa, podemos concluir que esse é um ponto de máximo, e será um máximo global já que é o único possível.

Além disso, podemos dizer que a função não possui pontos de mínimo.

Passo 4

c) Para determinar o intervalo de concavidade precisaremos fazer a análise de sinal de h ' ' . Então vamos derivar novamente a função h ' ( x ) .

h ' x = - 2 x 1 - x 2

Usando a regra do quociente, termos:

h ' ' x = - 2 ⋅ 1 - x 2 - ( - 2 x ) ( - 2 x ) 1 - x 2 2

h ' ' x = - 2 - 2 x 2 1 - x 2 2

h ' ' x = - 2 ⋅ 1 + x 2 1 - x 2 2

Analisando o sinal, teremos:

h ' ' x < 0

Assim, podemos concluir que a concavidade de h ( x ) é voltada para baixo em todo o seu domínio e não existem pontos de inflexão.

Passo 5

Por fim, vamos desenhar o gráfico da função h x = l n ⁡ ( 1 - x 2 ) usando as informações que encontramos nos itens anteriores e termos o seguinte resultado:

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

a) Não possui assíntota horizontal. Assíntotas verticais em x = - 1 e x = 1 .

b) Não possui pontos de mínimo. Máximo global em x = 0 .

c) Não possui pontos de inflexão. Concavidade voltada para baixo.

d)

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se