Em cada item a seguir, determine os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo. Em seguida, encontre seus pontos de inflexão.

(c) f x = e x e x + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo e determinar também seus pontos de inflexão. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = e x e x + 2

Derivando ela em relação a x , vamos obter:

f ' x = 2 e x e x + 2 2

Derivando mais uma vez, usando a regra do quociente, temos:

f ' ' x = 2 e x ( - e x + 2 ) e x + 2 3

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

2 e x ( - e x + 2 ) e x + 2 3 > 0

Daí temos:

0 < e x < 2

Ou, aplicando o logaritimo em todos os termos, temos:

x < ln ⁡ ( 2 )

Então, nossa função tem concavidade para cima quando x < ln ⁡ 2 .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

2 e x ( - e x + 2 ) e x + 2 3 < 0

e x > 2 → x > ln ⁡ ( 2 )

E nossa função tem concavidade para baixo quando x > ln ⁡ 2 .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

2 e x ( - e x + 2 ) e x + 2 3 = 0

2 e x ( - e x + 2 ) = 0 → - e x + 2 = 0

e x = 2 → x = ln ⁡ ( 2 )

Portanto, nosso ponto de inflexão acontece em x = ln ⁡ 2 , quando a concavidade da nossa curva muda.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x < ln ⁡ 2

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x > ln ⁡ 2

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = ln ⁡ 2

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Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se