Esboce o gráfico de y = f x = x 4 + 1 x 2 .

Passo 1

E aí galera, tudo tranquilo com voc��s?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x 4 + 1 x 2

E, precisamos esboçar o seu gráfico.

Para fazer isso vamos analisar a primeira derivada(para indicar o intervalo de crescimento, decrescimento e pontos críticos), o limite quando x →   ± ∞ (para indicar a presença de assíntotas horizontais) e a continuidade da função.

A partir dessas informações já conseguimos esboçar o gráfico da nossa função 😊

Vamos nessa!

Passo 2

Temos:

f x = x 4 + 1 x 2

= x 2 + 1 x 2

Vamos começar calculando a primeira derivada:

f ' x = 2 x + - 2 ⋅ 1 x 3

Igualando a zero para encontrar os pontos críticos, temos:

2 x - 2 x 3 = 0

x 4 = 1

∴ x = ± 1

Para saber se são pontos de máximo, mínimo ou inflexão, podemos calcular a segunda derivada nesses pontos.

f ' ' x = 2 x - 2 x 3 '

= 2 - 2 - 3 x 4

∴ f ' ' x = 2 + 6 x 4

Essa função é sempre positiva, logo:

f ' ' 1 = f ' ' - 1 > 0

Assim, esses são pontos de mínimo!

Além disso, como a segunda derivada é sempre positiva, dizemos que ela sempre tem concavidade para cima!

Passo 3

Vamos analisar agora a existência de assíntotas verticais ou horizontais.

Começando pelas horizontais, devemos calcular o limite de f quando x → ± ∞ .

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 → + ∞

Pois o termo x 2 tenderá ao infinito. Assim, não há assíntota horizontal, a função cresce indefinidamente.

Analogamente:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 → + ∞

Logo, a função também cresce indefinidamente para a esquerda.

Pensando agora na continuidade, como a função é dada por:

x 4 + 1 x 2

Temos a restrição do denominador, que precisa ser diferente de 0 . Logo:

x ≠ 0

Vamos calcular o limite quando f tende a 0 - e 0 + .

lim x → 0 - ⁡ x 2 + 1 x 2 = + ∞

Pois, o termo 1 x 2 →   + ∞ .

Analogamente:

lim x → 0 + ⁡ x 2 + 1 x 2 = + ∞

Assim, temos uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Juntando agora todas essas informações, já podemos esboçar o nosso gráfico.

A curva deve vir lá do altooo, tendendo a + ∞ quando x é muito negativo. E, vai diminuindo até encontrar o ponto de mínimo em x = - 1 . Depois ela volta a crescer e assintota a reta x = 0 .

O lado à direita do eixo y será simétrico.

Temos então:

Prontinhoo! Terminamos 😊

Até a próxima pessoal!

Resposta

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se