Seja f x = 1 + 4 ln ⁡ x x 4 - 3 . Admita que f ' x = - 16 ln ⁡ x x 5 .

b ) Estude a concavidade de f e determine, caso existam, os pontos de inflexão;

Passo 1

Precisamos achar o f ' ' ( x ) para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.

f ' ' x = - 16 ln ⁡ x ' x 5 - - 16 ln ⁡ x x 5 ' x 5 2

= - 16 x x 5 + 16 ln ⁡ x 5 x 4 x 5 2

= 16 5 ln ⁡ x - 1 x 6

Olhando para a derivada segunda percebemos que o sinal só depende do 5 ln ⁡ x - 1 , já que o x do denominador está elevado a uma potência par.

5 ln ⁡ x - 1 = 0

ln ⁡ x = 1 5 → x = e 1 / 5 = e 5 ≈ 1,22

Não precisava dessa aproximação, poderíamos assumir que é um número qualquer entre 1 e 2 , sendo e ≈ 2,72 . Coloquei mais para te guiar na hora de desenhar o gráfico. Assim, e 5 é um ponto de inflexão e a concavidade é para baixo antes dele e para cima depois.

Resposta

  e 5   é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   e   a   c o n c a v i d a d e   é   p a r a   b a i x o   a n t e s   d e l e   e   p a r a   c i m a   d e p o i s .

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se