Seja f derivável em R com f ' x f ' ' x < 4 - x 2 . Considere as afirmativas abaixo:

  1. O gráfico de f pode ser crescente com concavidade para baixo próximo de x = 1 .
  2. O gráfico de f pode ser decrescente com concavidade para cima próximo de x = - 4 .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. As afirmativas (I) e (II).
  2. Nenhuma das afirmativas.
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. Somente a afirmativa (II).

Passo 1

De f ' x f ' ' x < 4 - x 2 , podemos concluir que o produto da primeira e segunda derivadas está sempre abaixo da parábola 4 - x 2 .

Assim, vamos analisar a afirmação por afirmação. Começando pela afirmativa ( i ) :

  1. O gráfico de f pode ser crescente com concavidade para baixo próximo de x = 1 .
  2. Bem, no ponto x = 1 , temos:

    f ' 1 f ' ' 1 < 3

    Desconsiderando como zero e isolando:

    f ' ' 1 < 3 f ' 1

    Para f ser côncava para baixo, precisamos que f ' ' 1 < 0 , mas isso não implica na necessidade de f ' 1 < 0 , pois a fração:

    3 f ' 1

    Pode ser maior que zero e f ' ' 1 ser negativa, por conta do sinal de menor. Um número negativo será sempre menor que um positivo, então podemos ter f ' 1 > 0 (função crescente) e f ' ' 1 < 0 (côncava para baixo) e afirmativa (i) é correta.

    Passo 2

  3. O gráfico de f pode ser decrescente com concavidade para cima próximo de x = - 4 .

Novamente, temos que:

f ' - 4 f ' ' - 4 < 4 - 16 ⟹ f ' - 4 f ' ' - 4 < - 12

f ' ' - 4 < - 12 f ' - 4

Agora, para a função ser côncava para cima ( f ' ' - 4 > 0 ), precisamos que a f ' - 4 < 0 (decrescente), para que o sinal de menos desapareça na desigualdade. Isso é justamente o que sugere a afirmativa, então ela é correta também.

Assim, a alternativa correta é a letra a .

Resposta

As afirmativas (I) e (II).

Letra a.

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se