Seja f uma função derivável definida no intervalo a , i . O gráfico abaixo é o gráfico da derivada de f , ou seja, o gráfico de f ' :

Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta

b) O ponto d , f d é um ponto de inflexão do gráfico de f

Passo 1

Beleeza, vamos lá. A questão quer saber se o ponto dado é ou não um ponto de inflexão. Bem, como o ponto de inflexão é o ponto em que a concavidade de f muda, vamos precisar analisar a segunda derivada. Mas peraí, o gráfico:

É da primeira derivada! E agora? Calma gafanhoto! A gente pode até não ter o gráfico de f ' ' , mas olha só:

f ' ' = f ' '

Se a segunda derivada é a derivada da primeira derivada, então a gente pode brincar de reta tangente aqui! Dá uma olhada em como vai ficar a equação da reta tangente ao gráfico de f ' :

y - f ' x 0 = f ' ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , f x 0 é o ponto de tangência e f ' ' x 0 a inclinação da reta tangente. Agora dá uma olhada no ponto d , f d . Vamos ter:

x < d → f ' ' x < 0

d < x < e → f ' ' x > 0

Opa, então x = d é um ponto que muda a inclinação da reta tangente de f ' ! Isso quer dizer que:

f ' ' d = 0

E o que é um ponto de inflexão se não um ponto que zera a segunda derivada? Então está corretíssima essa afirmação!

Resposta

Verdadeiro pois   f ' ' d = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se