Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

Um aparato experimental de fenda dupla é tal que a abertura das fendas é 1 / 5 da distância entre elas. Um feixe de luz de comprimento de onda 626   n m incide sobre as fendas. Em um anteparo, observa-se que o máximo de interferência de 3ª ordem está a uma distância angular de 14,5 ° do máximo central.

a) Quantas regiões escuras são observadas dentro da envoltória central de difração? Explique.

b) Qual é a abertura angular da envoltória central de difração?

c) Qual é a intensidade relativa entre o máximo de 4ª ordem e máximo de 2ª ordem?

d) Suponha que a distância entre as fendas é aumentada para o dobro do valor anterior, mantendo o tamanho da abertura de cada fenda. Para cada item (a), (b) e (c) acima, justifique se o novo resultado é igual, maior ou menor ao encontrado anteriormente.

Passo 1

Fala pessoal, prontos para um probleminha sobre difração em fenda dupla?

Bom, você provavelmente já deve ter ouvido falar sobre o experimento de Young em que um feixe de luz passa por duas fendas muito pequenas e os raios interferem criando um padrão de interferência. Esse problema é quase sobre isso, porém aqui vamos considerar também o tamanho das fendas, de modo que o padrão de interferência será um pouquinho diferente.

Vamos chamar de d a distância entre as fendas e a = d / 5 o tamanho de cada fenda. A expressão para a intensidade no caso com N fendas é

I = I 0   s e n   β 2 β 2 2   s e n   N ϕ 2 N   s e n   ϕ 2 2 ,

onde

β = 2 π λ a   s e n   θ               e           ϕ = 2 π λ   d   s e n   θ

Nesse caso, temos N = 2 , de modo que

I = I 0   s e n   β 2 β 2 2   s e n   ϕ 2   s e n   ϕ 2 2

Mas sabemos que

s e n   ϕ = 2   s e n   ϕ 2 cos ⁡ ϕ 2

Desta forma,

I = I 0   s e n   β 2 β 2 2 cos ⁡ ϕ 2 2

Passo 2

A distribuição da intensidade é mostrada a seguir:

A envoltória é determinada pelos pontos que anulam s e n   β 2 , enquanto os mínimos dentro da envoltória são determinados pelos pontos que anulam cos ⁡ ϕ 2 . PS: a figura é totalmente ilustrativa, não leva em conta a relação a = d / 5 do problema.

No item (a) queremos saber quantos mínimos de interferência temos dentro da envoltória central. Para isso, vamos achar as posições desses mínimos (pintados de vermelho no desenho)! Nós queremos que

cos ⁡ ϕ 2 = 0 → ϕ 2 = 2 m + 1 π 2 ,           m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

Portanto

2 π λ   d   s e n   θ = 2 m + 1 π → s e n   θ = 2 m + 1 λ 2 d

Com isso, para m ≥ 0 , temos que os mínimos de interferência ocorrem em:

λ 2 d ,       3 λ 2 d ,       5 λ 2 d ,       7 λ 2 d , …

Já os mínimos da envoltória ocorrem para

s e n   β 2 = 0 → β 2 = n π → π λ a   s e n   θ = n π → s e n   θ = n λ a

Portanto, esses mínimos acontecem em

± λ a ,   ± 2 λ a ,   ± 3 λ a ,   …

Passo 3

Vamos resolver o item (a)! A envoltória central está determinada por

- λ a < s e n   θ < λ a

Como a = d / 5 , temos que

- 5 λ d < s e n   θ < 5 λ d

Mas vimos que os mínimos são dados por s e n   θ = 2 m + 1 λ 2 d , de modo que

- 5 λ d < 2 m + 1 λ 2 d < 5 λ d

Logo,

- 10 < 2 m + 1 < 10

- 11 < 2 m < 9

- 5,5 < m < 4,5

Com isso, temos

m = - 4 ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4

Portanto, existem 9 mínimos secundários dentro da envoltória central!

Passo 4

No item (b) queremos a abertura angular da envoltória central. Essa abertura corresponde a A = 2 θ , onde

s e n   θ = λ a       e       θ = A 2 → s e n   A 2 = λ a

Já sabemos que λ = 626   n m , mas ainda não conhecemos a . Para achá-lo, vamos usar a seguinte informação “observa-se que o máximo de interferência de 3ª ordem está a uma distância angular de 14,5 ° do máximo central”.

Os máximos principais são dados por

cos ⁡ ϕ 2 = ± 1 → ϕ 2 = m π

Logo,

π λ   d   s e n   θ = m π → s e n   θ = m λ d

O máximo de terceira ordem corresponde a m = 3 :

s e n   14,5 ° = 3 λ d → d = 3 λ s e n   14,5 °

Como a = d / 5 :

a = 3 λ 5   s e n   14,5 °

Assim, para achar a abertura da envoltória central, usamos

s e n   A 2 = λ a = 5   s e n   14,5 ° 3 = 0,417

Usando uma calculadora,

A 2 = 24,64 ° → A = 49,3 °

Essa é a abertura angular da envoltória central!

Passo 5

No item (c) queremos a intensidade relativa do máximo de ordem 4 com relação ao máximo de ordem 2 . Para isso, vamos usar o resultado que deduzimos no passo 4 para a posição dos máximos de ordem m :

s e n   θ = m λ d

Com isso, achamos:

β = 2 π λ a   s e n   θ = 2 π λ a ⋅ m λ d = 2 π m a d

ϕ = 2 π λ d   s e n   θ = 2 π λ d   m λ d = 2 π m

Lembre-se que a intensidade é dada por

I = I 0   s e n   β 2 β 2 2 cos ⁡ ϕ 2 2

É fácil perceber que

cos ⁡ ϕ 2 = cos ⁡ π m = ± 1

Logo, a expressão da intensidade se reduz em apenas

I = I 0   s e n   β 2 β 2 2

Substituindo o valor de β :

I m = I 0 s e n   π m a d π m a d 2

Repare que agora estou indicando a intensidade por I m , que corresponde ao m -ésimo máximo de interferência. No caso geral, a relação entre a intensidade do máximo de ordem n e o máximo de ordem m será:

I n I m = s e n   π n a d π n a d 2 ⋅ π m a d s e n   π m a d 2 = m n 2 s e n   π n a d s e n   π m a d 2

Passo 6

Para responder o item (c), devemos usar n = 4 e m = 2 :

I 4 I 2 = 2 4 2 s e n   4 π a d s e n   2 π a d 2

Vamos usar também que

s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x

Assim,

s e n   4 π a d = 2   s e n   2 π a d cos ⁡ 2 π a d

  1. Logo,
  2. s e n   4 π a d s e n   2 π a d = 2   s e n   2 π a d cos ⁡ 2 π a d s e n   2 π a d = 2 cos ⁡ 2 π a d
  3. Com isso, a razão das intensidades será:
  4. I 4 I 2 = 1 4 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π a d 2 = cos 2 ⁡ 2 π a d

Repare que eu fiz toda a conta de forma literal já pensando no item (d), mas isso é assunto para daqui a pouco!

Lembrando que a = d / 5 , achamos que

I 4 I 2 = cos 2 ⁡ 2 π 5

Fazendo a conta em uma calculadora:

I 4 I 2 = 0,0955 = 9,55 %

Passo 7

Para terminar o problema, vamos para o item (d)! Agora, a distância entre as fendas passa a ser o dobro do que era antes, porém a abertura a segue sendo igual. Lembre-se que a era d / 5 , onde d é a distância antiga entre as fendas. A distância nova é o dobro da antiga, de modo que se chamarmos essa nova distância de d , a abertura a deve ser

a = d / 2 5 = d 10

Se você preferir fazer isso com mais calma, podemos pensar da seguinte forma: antes tínhamos

d = x             e           a = x 5

Agora temos que

d = 2 x           e         a = x 5

Isolando x na primeira e substituindo na segunda nós achamos a = d / 10 . O problema quer que analisemos as respostas dos três primeiros itens considerando essa mudança...

No item (a) a condição era:

- λ a < s e n   θ < λ a → - λ a < 2 m + 1 λ 2 d < λ a

Substituindo a = d / 10 :

- 10 < 2 m + 1 2 < 10 → - 20 < 2 m + 1 < 20

Isso significa que o número de valores de m que satisfaz essa relação vai aumentar. Portanto, a resposta do item (a) aumenta!

Já no item (b), tínhamos que

d = 3 λ s e n   14,5 °

Usando que a = d / 10 , achamos agora

a = 3 λ 10   s e n   14,5 °

Desta forma,

s e n   A 2 = λ a = 10   s e n   14,5 ° 3

Esse valor é o dobro do que achamos no item (b). Com isso, a abertura angular será maior!

Por fim, no item (c), vimos que a expressão geral era:

I 4 I 2 = cos 2 ⁡ 2 π a d

Usando a = d / 10 :

I 4 I 2 = cos 2 ⁡ 2 π 10 = 0,654 = 65,4 %

Note que esse valor também é maior do que encontramos no item (c). Portanto, o aumento da distância entre as fendas sem modificar a abertura delas aumenta a resposta de todos os itens!

Com isso chegamos ao fim desse problema 😉!

Resposta

9 mínimos secundários dentro da envoltória central.

A = 49,3 °

I 4 I 2 = 9,55 %

Aumenta (a), aumenta (a) e aumenta (c).

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