Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

Em um laboratório de óptica, deseja-se obter um padrão de intensidade com 9 franjas brilhantes, exatamente, dentro do máximo central da difração. Utiliza-se nessa tarefa um anteparo com duas fendas idênticas, separadas pela distância de 15mm, com luz de comprimento de onda de 600nm. A distância entre a tela de observação e o anteparo é de 10m. O padrão de intensidade desejado é obtido com fendas de qual largura:

(a)   95 m m

(b) 15 m m

(c) 7,5 m m

(d) 3,0 m m

(e) 2,0 m m

(f) É impossível obter tal padrão de intensidade com o comprimento de onda utilizado.

Passo 1

O nosso objetivo é determinar o tamanho das nossas fendas para que dentro de um máximo central de difração caibam 9 franjas de interferências, para isso teremos que lembrar de algumas fórmulas e relações.

Nesse caso temos que analisar o seguinte, precisamos relembrar como calcular o tamanho do máximo central de difração. Para isso precisamos lembrar onde ele termina. Nesse caso o mínimo de difração é dado pela fórmula,

a .   S e n θ = m   .   λ

E pelo desenho vemos o seguinte

Podemos aproximar para ângulos pequenos o seguinte

S e n   θ   ≅ T a n   θ

Logo podemos fazer a seguinte substituição

tan ⁡ θ = y m a x L

Substituindo teremos que

a .   y m a x L = m   .   λ

Mas lembre-se que queremos o tamanho do máximo central, logo, queremos y m a x para o valor de m = 1

y m a x = L .   λ a

Passo 2

Agora pensa no seguinte, se temos o valor do tamanho do máximo central precisamos fazer caber nesse espaço as 9 franjas claras, mas tome o seguinte cuidado, perceba que calculamos y m a x apenas para a metade superior, ou seja, sabemos que tem 4 franjas pra cima, 1 no meio e 4 franjas pra baixo, fechando então as nossas 9 franjas, logo, no nosso calculo para máximos de interferências não usaremos m=9, mas m=5, pois pensa no seguinte, queremos as 4 franjas de cima mais a franja do meio, totalizando 5 no y m a x .

Olhando o desenho temos que

d .   S e n θ = m   .   λ

Fazendo o mesmo processo feito para o caso anterior teremos

d .   y m a x L = m   .   λ

Substituindo teremos

y m a x = 5 . L .   λ d

Passo 3

Como queremos que todas as franjas de interferências caibam no máximo central de difração basta igualar os y m a x

L .   λ a = 5 . L .   λ d

1 a = 5 d

Isolando o valor de a teremos

d 5 = a

Como o valor de d=15 teremos

a = 3 m m

Resposta

(D)

a = 3 m m

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