Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

Duas fendas de largura igual a 0,015   m m tem seus centros separados por uma distância igual a 0,06   m m e são iluminados por um feixe de luz que incide perpendicularmente às fendas, de λ = 600   n m .

  1. Qual a posição angular do 1 º mínimo de difração?
  2. Qual a posição angular do 1 º mínimo de interferência?
  3. Quantas franjas brilhantes existem dentro da 1 ª envoltória?

Passo 1

Letra a)

A posição angular dos mínimos de difração é igual a quando temos apenas uma fenda com essa mesma largura.

sen ⁡ θ = m λ a

m = ± 1 , ± 2 ,   ± 3 , …

Onde a = 0,015   m m = 15   000   n m é a largura das fendas e λ = 600   n m é o comprimento de onda da luz. O primeiro mínimo corresponde a m = 1 e com isso:

sen ⁡ θ 1 , d = λ a = 600 15   000 = 0,04

Como esse valor é muito pequeno, podemos usar a aproximação de pequenos ângulos e dizer que:

θ 1 , d ≈ sen ⁡ θ 1 , d = 0,04

θ 1 , d ≈ 0,04   r a d ≈ 2,29 °

Passo 2

Letra b)

A posição angular dos mínimos de interferência é igual a quando temos duas fendas pontuais.

d sen ⁡ θ = m + 1 2 λ

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Onde d = 0,0 6   m m = 60   000   n m é a distância entre as fendas e λ = 600   n m é o comprimento de onda da luz. O primeiro mínimo corresponde a m = 0 e com isso:

sen ⁡ θ 1 , i = 1 2 ∙ λ d = 600 2 ∙ 60   000 = 0,0 05

Como esse valor é muito pequeno, podemos usar a aproximação de pequenos ângulos e dizer que:

θ 1 , i ≈ sen ⁡ θ 1 , i = 0,0 05

θ 1 , i ≈ 0,0 05   r a d ≈ 0,286 °

Passo 3

Letra c)

Para achar o número de franjas brilhantes na primeira envoltória, temos que ver qual a última franja a aparecer de um dos lados do máximo central da figura, antes do primeiro mínimo de difração.

Como já temos o ângulo desse mínimo, queremos achar a maior ordem m da franja brilhante com posição angular ainda menor que θ 1 , d .

A condição para franjas brilhantes é:

d sen ⁡ θ = m λ

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Onde m = 0 corresponde à central. Sendo os ângulos muito pequenos, podemos aproximar:

sen ⁡ θ ≈ θ

E assim, queremos que:

θ m ≈ m λ d < θ 1 , d

m λ d = m 600 60   000 = m 100 < 0,04   r a d

m < 4

Logo, a última franja brilhante corresponde a m = 3 . O fato de termos m < 4 nos mostra que a franja de ordem 4 coincidiu com o mínimo da envoltória, não existindo. De fato:

θ 4 = 4 100 = 0,04   r a d

O número de franjas dentro da envoltória central vai ser:

N = 2 m + 1

Onde multiplicamos m por 2 para contabilizar os dois lados da franja brilhante central e somamos um por causa dessa franja central. Assim:

N = 2 ∙ 3 + 1 = 7

Resposta

Letra a)

θ 1 , d ≈ 0,04   r a d ≈ 2,29 °

Letra b)

θ 1 , i ≈ 0,005   r a d ≈ 0,286 °

Letra c)

N = 7

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