Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

A envoltória central de difração de uma figura de difração por duas fendas contém 11 franjas claras, e os primeiros mínimos de difração eliminam (coincidem com) franjas claras.

Quantas franjas de interferência existem entre o primeiro e o segundo mínimos da envoltória?

Passo 1

O objetivo é descobrirmos quantas franjas de interferência existem entre o primeiro e o segundo mínimo da envoltória de difração. Porém, nós temos poucas informações com as quais trabalhar.

Por isso, vamos tentar aos poucos descobrir do que precisamos.

Para sabermos quantas franjas de interferência existem nessa região, precisamos saber a distância entre o primeiro e o segundo mínimo. Usando as condições de difração, seus ângulos são dados por:

m = 1 → sen ⁡ ( θ d , 1 ) = λ a

m = 2 → sen ⁡ ( θ d , 2 ) = 2 λ a

Para ver quantas franjas de interferência estão entre elas, precisamos ver qual a primeira franja nessa região m i n t , 1 e a última m i n t ,   n e ver quantas franjas existem entre essas duas ordens.

Passo 2

A primeira franja que procuramos, m i n t , 1 vai ser a menor ordem tal que seu ângulo é maior que o ângulo do primeiro mínimo de difração. Usando as condições de interferência, seu ângulo será:

sen ⁡ θ i n t , 1 = m i n t , 1 λ d > sen ⁡ ( θ d , 1 ) = λ a

m i n t , 1 > d a

A última franja precisa vai ser a de maior ordem tal que seu ângulo seja menor que o ângulo do segundo mínimo de difração.

sen ⁡ θ i n t , n = m i n t , n λ d < sen ⁡ ( θ d , 2 ) = 2 λ a

m i n t , n < 2 d a

Fica então mais claro que precisaremos da razão da distância entre as duas fendas com a largura das fendas, d / a .

Passo 3

Agora que sabemos o que procuramos, vamos ver o que temos. Na envoltória central, temos 11 franjas brilhantes, o máximo central e mais 5 de cada lado. Lembrando que:

N = 2 m n + 1 → 11 = 2 m n + 1

m n = 11 - 1 2 = 5

Sabemos também que o primeiro mínimo de difração coincide com uma franja brilhante. Como a última franja dentro da envoltória é a de ordem 5 , então o primeiro mínimo coincide com a franja seguinte, a de ordem 6 ( m i n t = 6 ).

O ângulo dessa franja é dado pela condição de interferência:

sen ⁡ θ i n t , 6 = 6 λ d

Como ela coincide com o primeiro mínimo de difração, podemos igualar os ângulos:

sen ⁡ θ i n t , 6 = 6 λ d = sen ⁡ ( θ d , 1 ) = λ a

6 = d a

Passo 4

Agora que obtemos o valor de d / a , nós substituímos para achar as franjas que queremos:

m i n t , 1 > d a = 6

m i n t , 1 = 7

m i n t , n < 2 d a = 12

m i n t , n = 11

Teremos então 5 franjas brilhantes:

m = 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11

Resposta

Entre o primeiro e o segundo mínimo da envoltória de difração temos 5 franjas brilhantes.

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