Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

Em um experimento de fenda dupla a distância entre as fendas é 160   μ m , a largura das fendas é 20,0   μ m e o comprimento de onda luminosa usado é 480   n m . O valor da intensidade no máximo central é em 5,0 × 10 - 3   W / c m 2 . A distância entre o anteparo com as fendas e a tela de observação é L = 8,0   m .

a ) Determine a largura angular Δ θ do máximo central de difração.

b ) Obtenha a distância do terceiro mínimo de difração ao centro da imagem.

c ) Calcule a intensidade I do máximo de interferência de ordem m = 3 .

d ) Obtenha o número de franjas brilhantes completas existentes em um dos primeiros máximos vizinhos ao máximo central da envoltória de difração.

Passo 1

a )

Para o fenômeno de difração temos a seguinte relação:

d . sen ⁡ θ = m . λ

Onde d é a largura das fendas, m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 , … , e λ é o comprimento de onda.

Para determinar a largura angular do máximo, vamos calcular a distancia angular do primeiro mínimo e multiplicar por dois, pois podemos contar com a simetria da figura.

Para o primeiro mínimo m = 1 , temos:

d . sen ⁡ θ = m . λ

20 × 10 - 6 . sen ⁡ θ = 1 .   480 × 10 - 9

sen ⁡ θ = 24 × 10 - 3

θ = 1,375 °

A largura angular do máximo central, será então:

2 . θ = 2 .   1,375

θ c e n t r a l = 2,75 °

Lembrando que podemos multiplicar por dois, por conta da simetria, pois sabemos que o mínimo m = - 1 também terá θ = 1,375 ° .

Passo 2

b )

Para o fenômeno de difração, temos a relação dada no item anterior:

d . sen ⁡ θ = m . λ

No entanto, pela aproximação sin ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ , e pelo fato de que tan ⁡ θ = y L , temos, substituindo na fórmula acima:

d . y L = m . λ  

Onde y é a distância do mínimo até o centro da imagem, e L é a distancia das fendas até a tela de observação.

Substituindo os valores para determinar a distância até o terceiro mínimo m = 3 , temos:

d . y L = m . λ

20 × 10 - 6 . y 8,0 = 3 .   480 × 10 - 9  

y = 0,576   m

Passo 3

c )

Para o fenômeno de difração por fenda dupla, temos que a intensidade luminosa é dada por:

I = I m á x . sen ⁡ α α 2 . cos ⁡ β 2

Para máximos, temos que:

β = m . π → cos ⁡ β = 1

α = π . a . sen ⁡ θ λ

Vamos primeiro determinar o valor de α :

α = π . a . sen ⁡ θ λ

α = π . 20,0 × 10 - 6 . sen ⁡ θ 480 × 10 - 9

O valor de sin ⁡ θ é dado por:

d . sen ⁡ θ = m . λ

160 × 10 - 6 . sen ⁡ θ = 3 .   480 × 10 - 9

sin ⁡ θ = 9 × 10 - 3

Substituindo na equação de α , temos:

α = π . 20,0 × 10 - 6 . 9 × 10 - 3 480 × 10 - 9

α = 0,375 . π   r a d = 67,5 °

Passo 4

Agora que temos o valor de α em radianos e em graus, podemos substituir na fórmula da intensidade:

I = I m á x . sen ⁡ α α 2 . cos ⁡ β 2

I = 5,0 × 10 - 3 . sen ⁡ 67,5 0,375 . π 2 . 1 2

I = 3,07 × 10 - 3   W / c m 2

Passo 5

d )

Para determinar o número de franjas brilhantes no primeiro máximo vizinho ao máximo central, precisamos relacionar a ordem m dos máximos com a ordem n dos mínimos, pois sabemos que o primeiro máximo vizinho está entre o primeiro mínimo n = 1 e o segundo mínimo n = 2 .

Temos, para os máximos:

d . sen ⁡ θ = m . λ

Para os mínimos:

a . sen ⁡ θ = n . λ

Dividindo uma fórmula pela outra, temos:

d a = m n

Onde d é a distância entre as fendas, e a é a largura das fendas, substituindo os valores, temos:

160 × 10 - 6 20 × 10 - 6 = m n

m = 8 . n

Agora, sabemos que quando m = 8 . n , temos um interferência destrutiva, pois o mínimo anulará completamente o máximo.

Para n = 1 :

m = 8

Para n = 2 :

m = 16

Ou seja, temos desde o 9 ° até o 15 ° máximo antes de termos o próximo mínimo. Serão então 7 franjas brilhantes no primeiro máximo vizinho ao máximo central da envoltória da difração.

Resposta

a ) θ c e n t r a l = 2,75 °

b ) y = 0,576   m

c ) I = 3,07 × 10 - 3   W / c m 2

d ) 7 franjas brilhantes.

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