Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

No experimento de interferência de dupla fenda da Fig. 35-10, a largura das fendas é 12,0   μ m , a distância entre as fendas é 24   μ m , o comprimento de onda é 600   n m e a tela de observação está a uma distância de 4,00   m .

Seja I P a intensidade no ponto P da tela, situado a uma altura y = 70,0   c m .

  1. Determine a razão entre I P e a intensidade I m no centro da tela.
  2. Determine a posição de P na figura de interferência, especificando o máximo ou o mínimo no qual o ponto se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra.
  3. Determine a posição de P na figura de difração, especificando o mínimo no qual o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra.

Passo 1

Letra a)

O nosso primeiro passo é encontrar o ângulo entre o centro da figura e o ponto P .

Sabemos que a distância do centro ao ponto P é de y = 70,0   c m = 0,7   m e a distância das fendas ao anteparo é de L = 4,00   m .

A tangente do ângulo vai ser a razão desses dois valores:

tan ⁡ θ = y L = 0,7 4 = 0,175

θ = tan - 1 ⁡ ( 0,175 ) ≅ 0,173   r a d ≅ 9,93 °

Passo 2

A razão entre I P e I m vai ser:

I P I m = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Nessas fórmulas, a = 12 μ m = 12 ∙ 10 - 6 é a largura das fendas, d = 24   μ m = 24 ∙ 10 - 6 m é a distância entre as fendas e λ = 600   n m = 600 ∙ 10 - 9   m é o comprimento de onda da luz incidente.

Usando o ângulo que encontramos antes:

β 2 = π   a sen ⁡ θ λ ≅ π ∙ 12 ∙ 10 - 6 ∙ sen ⁡ 0,173   r a d 600 ∙ 10 - 9 ≅ 10,83

sen ⁡ β / 2 β / 2 2 ≅ sen ⁡ 10,83 10,83 2 ≅ 0,008

γ 2 = π   d sen ⁡ θ λ ≅ π ∙ 24 ∙ 10 - 6 ∙ sen ⁡ 0,173   r a d 600 ∙ 10 - 9 ≅ 21,66

cos 2 ⁡ γ 2 = cos 2 ⁡ 21,66 ≅ 0,90

Juntando todos os resultados:

I P I m = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2 ≅ 0,008 ∙ 0,9 ≅ 0,007

Passo 3

Letra b)

As condições dos máximos de interferência são:

sen ⁡ θ = m λ d = m 600 ∙ 10 - 9 24 ∙ 10 - 6 = m ∙ 0,025

Enquanto as dos mínimos:

sen ⁡ θ = m + 1 2 λ d = m + 1 2 600 ∙ 10 - 9 24 ∙ 10 - 6 = m + 1 2 ∙ 0,025

O ângulo do nosso ponto P é θ ≅ 0,173   r a d ≅ 9,93 ° cujo seno vale:

sen ⁡ 0,173   r a d ≅ 0,172

Em múltiplos de 0,025 , temos:

0,172 0,025 ≅ 6,9

Ou seja, está entre o mínimo com m = 6 (sexto mínimo) e o máximo com m = 7 (sétimo máximo.

Passo 4

Letra c)

As condições dos mínimos de difração são:

sen ⁡ θ = m λ a = m 600 ∙ 10 - 9 12 ∙ 10 - 6 = m ∙ 0,05

O ângulo do nosso ponto P é θ ≅ 0,173   r a d ≅ 9,93 ° cujo seno vale:

sen ⁡ 0,173   r a d ≅ 0,172

Em múltiplos de 0,05 , temos:

0,172 0,05 ≅ 3,44

Ou seja, está entre o mínimo com m = 3 (terceiro mínimo) e o mínimo com m = 4 (quarto mínimo).

Resposta

Letra a)

I P I m ≅ 0,007

Letra b)

O ponto P está entre o sexto mínimo e o sétimo máximo de interferência.

Letra c)

O ponto P está entre o terceiro mínimo e o quarto mínimo de difração.

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