Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

(I) Considere um conjunto de duas fendas de largura l , espaçadas por uma distância de 5 l . Sobre estas duas fendas incide uma onda plana monocromática, cujo comprimento de onda é igual a l / 2 , conforme a figura.

  1. Para quais valores do ângulo de observação θ , indicado na figura, serão observados os dois primeiros mínimos de difração adjacentes ao máximo central?
  2. Considere a região angular 0 ≤ θ ≤ 30 ° . Qual é o número de mínimos de interferência nesta região?

Passo 1

Sabemos que os mínimos de difração ocorrem quando

a s e n θ = n λ

com

n =   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Então os nossos dois primeiros mínimos de difração vão aparecer quando n = ± 1 . Substituindo na equação anterior e sabendo que a largura da fenda é a = l e que o comprimento de onda é λ = l / 2 , temos:

s e n θ = n λ a = ± l / 2 l = ± 1 2

Agora é só tirar o arcoseno de 1 / 2 e pronto!

θ 1 = ± 30 °

Passo 2

Sabemos que os mínimos de interferência são dados pela condição

d s e n θ = n + 1 2 λ

com

n =   0 , ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Para satisfazer essa condição o seno do ângulo deve também obedecer

0 ° ≤ θ ≤ 30 ° →     s e n 0 ° ≤ s e n θ ≤ s e n 30 ° → 0 ≤ s e n θ ≤ 1 / 2

Por outro lado a condição para o mínimo de interferência usando λ = l / 2 e d = 5 l (dados no enunciado), temos

s e n θ = n + 1 2 λ d = n + 1 2 l / 2 5 l = n + 1 2 1 10

Agora combinando as duas condições

0 ≤ n + 1 2 1 10 ≤ 1 2

- 1 2 ≤ n ≤ 9 2

Os únicos inteiros (já que n só pode ser inteiro) possíveis são

n = 0,1 , 2,3 , 4

Logo há 5 mínimos nessa região

Resposta

  1. θ 1 = ± 30 °
  2. há 5 mínimos nessa região

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