Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

Uma luz com um comprimento de onda de 440   n m passa por um sistema de dupla fenda e produz uma figura de difração cujo gráfico de intensidade I em função da posição angular θ aparece na Fig. 36-47. Determine:

  1. A largura das fendas
  2. A distância entre as fendas.
  3. Mostre que as intensidades máximas indicadas para as franjas de interferência com m = 1 e m = 2 estão corretas.

Passo 1

Letra a)

Pelo gráfico, podemos entender que temos um mínimo de difração em θ = 5 ° pois os máximos próximos estão achatados e com uma distância bem maior que os outros máximos da figura.

Substituindo nas condições de mínimo de difração:

sen ⁡ θ = m λ a

m = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Onde a é a largura da fenda, λ = 440   n m é o comprimento de onda da luz e m = 1 , pois este é o primeiro mínimo de difração.

a = m λ sen ⁡ ( θ ) = 440 sen ⁡ 5 ° ≅ 5   048,43   n m ≅ 5,048   μ m

Caso sua calculadora só faça o seno de ângulos em radiano, e você não saiba alterar isso, para converter um ângulo de graus em radianos:

θ r a d = θ g r a u s 180 ° ∙ π

Que é uma regra de três já montada. No nosso caso:

θ r a d = 5 ° 180 ° ∙ π ≅ 0,0278   π

Passo 2

Letra b)

As condições de máximo de interferência são:

sen ⁡ θ = m λ d

m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Pelo gráfico, a terceira franja clara ( m = 2 ) corresponde a um ângulo de 2,5 ° (duas unidades do eixo horizontal são 5 ° , logo uma unidade são 2,5 ° );

Substituindo essas informações e o comprimento de onda:

d = 2 ∙ 440 sen ⁡ 2,5 ° = 2 0   174 , 52   n m ≅ 20,175   μ m

Passo 3

Letra c)

A fórmula da intensidade é:

I I c e n = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Para acharmos a intensidade dos máximos correspondentes a m = 1 e m = 2 , nós precisamos primeiro achar seus ângulos. No caso m = 2 , nos já temos. Substituindo os valores:

β 2 = π ∙ 5   048,43 ∙ sen ⁡ 2,5 ° 440 ≅ 1,57

sen ⁡ β / 2 β / 2 2 ≅ sen ⁡ 1,57 1,57 2 ≅ 0,405

γ 2 = π ∙ 20   174,52 ∙ sen ⁡ 2,5 ° 440 ≅ 6,28

cos 2 ⁡ γ 2 ≅ cos 2 ⁡ 6,28 ≅ 1

I I c e n ≅ 0,405

Pelo gráfico, I c e n ≅ 7   m W / c m 2

I 2 ≅ 0,405 ∙ I c e n = 0,405 ∙ 7 = 2,835   m W / c m 2

Que bate aproximadamente com o gráfico.

Passo 4

Para m = 1 , o ângulo é dado por:

sen ⁡ θ = λ d ≅ 440 20   174,52 ≅ 0,0218

Substituindo nas equações:

β 2 = π ∙ 5   048,43 ∙ 0,0218 440 ≅ 0,786

sen ⁡ β / 2 β / 2 2 ≅ sen ⁡ 0,786 0,786 2 ≅ 0 , 81

γ 2 = π ∙ 20   174,52 ∙ 0,0218 440 ≅ 3,1416

cos 2 ⁡ γ 2 ≅ cos 2 ⁡ 3,1416 ≅ 1

Substituindo na fórmula de intensidade:

I I c e n ≅ 0 , 81

I 1 ≅ 0 , 81 ∙ I c e n = 0 , 81 ∙ 7 = 5,67   m W / c m 2

Que também aparece estar de acordo com o gráfico.

Resposta

Letra a)

a ≅ 5,048   μ m

Letra b)

d ≅ 20,175   μ m

Letra c)

Como demonstrado, as intensidades máximas do gráfico estão de acordo com as calculadas.

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