Exercícios Resolvidos de Difração por Duas Fendas Simples

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Enunciado

Observa-se em uma tela distante de um anteparo a figura de intensidade produzida no experimento de Young, com duas fendas idênticas. A quantidade de franjas brilhantes dentro do máximo central da difração é 83. Qual a largura aproximada das fendas se a distância entre elas é de 3µm e se o comprimento de onda da luz utilizada vale 500nm?

(a) 0,08µm.

(b) 12,00µm.

(c) 0,8µm.

(d) 0,12µm.

(e) 0,5µm.

(f) 0,16µm

Passo 1

O nosso objetivo é determinar o tamanho das nossas fendas para que dentro de um máximo central de difração caibam 83 franjas de interferências, para isso teremos que lembrar de algumas fórmulas e relações.

Nesse caso temos que analisar o seguinte, precisamos relembrar como calcular o tamanho do máximo central de difração. Para isso precisamos lembrar onde ele termina. Nesse caso o mínimo de difração é dado pela fórmula,

a .   S e n θ = m   .   λ

E pelo desenho vemos o seguinte

Podemos aproximar para ângulos pequenos o seguinte

S e n   θ   ≅ T a n   θ

Logo podemos fazer a seguinte substituição

tan ⁡ θ = y m a x L

Substituindo teremos que

a .   y m a x L = m   .   λ

Mas lembre-se que queremos o tamanho do máximo central, logo, queremos y m a x para o valor de m = 1

y m a x = L .   λ a

Passo 2

Agora pensa no seguinte, se temos o valor do tamanho do máximo central precisamos fazer caber nesse espaço as 83 franjas claras, mas tome o seguinte cuidado, perceba que calculamos y m a x apenas para a metade superior, ou seja, sabemos que tem 41 franjas pra cima, 1 no meio e 41 franjas pra baixo, fechando então as nossas 83 franjas, logo, no nosso cálculo para máximos de interferências não usaremos m=83, mas m=42, pois pensa no seguinte, queremos as 41 franjas de cima mais a franja do meio, totalizando 42 no y m a x .

Olhando o desenho temos que

d .   S e n θ = m   .   λ

Fazendo o mesmo processo feito para o caso anterior teremos

d .   y m a x L = m   .   λ

Substituindo teremos

y m a x = 42 . L .   λ d

Passo 3

Como queremos que todas as franjas de interferências caibam no máximo central de difração basta igualar os y m a x

L .   λ a = 42 . L .   λ d

1 a = 42 d

Isolando o valor de a teremos

d 42 = a

Como o valor de d = 3 μ m teremos

3 42 = a

a = 0,08   μ m

Resposta

a = 0,08   μ m

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