Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

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Enunciado

Um bloco de massa 5,0   k g está preso por um fio a uma mola de constante elástica 100   N / m . O fio passa por uma polia de r a i o   =   0,20   m cujo momento de inércia em relação ao seu eixo de rotação é 0,040   k g   m 2 . O fio tem massa desprezível, é inextensível e não desliza sobre a polia, que pode girar sem atrito em torno do seu eixo de rotação. O bloco é liberado em repouso e com a mola relaxada. Qual é a rapidez do bloco depois de ter caído 0,40   m ?

(A) 2,8   m / s (B) 2,2   m / s (C) 2,0   m / s (D) 1,5   m / s (E) 1,0   m / s

Passo 1

Fala aí meus lindos e lindas! Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Na questão acontece um movimentinho interessante: esse bloco (pela ação da gravidade) vai descendo e através daquela corda, tensiona a mola. Ou seja, temos um cenário no começo do problema (que é essa da figura) e temos outro cenário depois do movimento. Para o estado inicial:

Agora, o estado de interesse, que é a velocidade do bloco em uma certa altura que a questão pede:

Sacaram o problema? Então, sem mais delongas bora lá encontrar a velocidade depois que o bloco passa 0,4   m da altura inicial dela. Pra essa tô animado!

Passo 2

Agora, precisamos escrever o problema em uma equação pra descobrir o que a gente quer. Você sabe qual método vamos adotar? Qual fórmula, lei ou teorema? Então, se você disse conservação de energia, você acertou em cheio as somas das energias cinéticas e potenciais no começo do movimento é igual a soma das energias cinéticas e potenciais no final do movimento. Sendo assim, vamos escrever exatamente o que está em negrito aqui em baixo:

E c 0 + E p 0 = E c f + E p f (1)

E c e E p são respectivamente energia cinética e potencial. E as letrinhas pequeninas ali em baixo “ 0 e f ” indicam respectivamente o estado inicial e o estado final (ou de interesse pro nosso caso).

Passo 3

Passo 4

Agora vamos imaginar esse momento inicial onde tá tudo parado. Temos a mola relaxada, e o bloco ainda não começou a cair, ele ainda está em uma altura y 0 = 0 . Agora vamos dar play no movimento! O que aconteceu? O bloco está caindo, a polia está girando. Opa, vejam só!!!

Acabamos de encontrar as duas energias cinéticas que acontecem no sistema. Bora procurar as energias potenciais? Perceba que se o bloco caiu, além dele se movimentar ganhando energia cinética, pelo fato de estar caindo, vamos ter no sistema energia potencial gravitacional. E pra gente finalizar tá faltando mais uma energia aqui, você sabe qual é? Justamente a da mola. Ela representa uma energia potencial elástica. Fechou, agora no próximo passo vamos jogar as fórmulas de cada energia na equação ( 1 ) .

Passo 5

Como foi dado o spoiler no passo anterior, vamos jogar tudo isso que tá em negrito na equação ( 1 ) . Ela é representada por:

E c 0 + E p 0 = E c f + E p f

Para as energias cinéticas e potenciais iniciais, temos:

E c 0 + E p 0 = m v 2 2 + m g y 0

Mas veja, se a velocidade inicial é 0 , e a altura inicial é 0 também, temos no final isso:

E c 0 + E p 0 = m v 2 2 + m g y 0

E c 0 + E p 0 = m ⋅ 0 2 2 + m g ⋅ 0

Logo,

E c 0 + E p 0 = 0 + 0 (2)

Até aqui tudo bem, agora vamos pro estado de interesse. Do outro lado da equação temos:

E c f + E p f

De energias cinéticas, como a gente descobriu no passo 3 , temos que o bloco cai, e a polia gira. Isso é traduzido em energia cinética do bloco caindo, e em energia cinética rotacional da polia girando. Logo, temos essas fórmulas:

E c f = m v 2 2 + I ω 2 2 (3)

Para as energias potenciais, temos a energia potencial gravitacional pela ação do bloco cair, e a energia potencial elástica pela ação da mola esticar do outro lado da polia. Portanto:

E p f = m ⋅ g ⋅ Δ y + k Δ y m o l a 2 2 (4)

Agora que temos tudo esquematizado, vamos juntar todas as equações no próximo passo e arrematar a questão.

Passo 6

Juntando as equações   ( 2 ) ,   ( 3 )   e   ( 4 ) nos moldes da equação ( 1 ) , temos:

0 + 0 =   m v 2 2 + I ω 2 2 + m ⋅ g ⋅ Δ y + k Δ y m o l a 2 2   ( 5 )

E mais uma coisita: como adotamos o sentido de y para cima ser positivo, e o bloco desce (para baixo), significa que ele perde altura. Ou seja, a variação dele é igual a:

Δ y = - 0,4   m

Belezinha? Prontos pra substituírem esses valores? A questão nos entrega:

m = 5   k g

k = 100   N / m

Δ y = - 0,4   m

g = 9,8   m / s 2 ≅ 10   m / s 2

r = 0,2   m

I = 0,04   k g ⋅ m 2

Agora só tá faltando o quanto que a mola estica e transformar aquele ω da energia cinética rotacional da polia em algo que a gente possa trabalhar. Primeiro resolvendo o problema da mola, o problema nos entrega que o fio é inextensível e não desliza. O que isso significa pra gente? Significa que toda variação de altura no bloco, é transferida totalmente pra polia que é transferida totalmente para a mola. Se o bloco desceu 0,4   m , a mola estendeu os mesmos 0,4   m . Logo,

Δ y m o l a = 0,4   m

Para o nosso ω , podemos traduzir ele na forma da velocidade de giro, que é dada por:

v = r ⋅ ω

Logo,

ω = v r

Agora substituindo tudo isso na nossa equação (5):

0 + 0 =   m v 2 2 + I ω 2 2 + m ⋅ g ⋅ Δ y + k Δ y m o l a 2 2   ( 5 )

0 = 5 ⋅ v 2 2 + 0,04 2 v 0,2 2 - 5 ⋅ 10 ⋅ 0,4 + 100 0,4 2 2

Isolando essa velocidade, temos que:

0 = v 2 5 2 + 0,02 ⋅ 1 0,04 - 20 + 8

0 = 3 v 2 - 20 + 8

v 2 = 12 3

v 2 = 4

v = 2   m / s

alternativa c)

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Passo 7

Resposta

v = 2   m / s

alternativa c)

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