Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

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Enunciado

Um pêndulo está suspenso do teto e preso a uma mola que, por sua vez, está presa ao chão em um ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo. A massa da bolinha do pêndulo é m , o comprimento do pêndulo é L e a constante da força é k . O comprimento da mola frouxa é L 2 e a distância entre o chão e o teto é 1,5 L . O pêndulo é puxado lateralmente, de modo a formar um ângulo θ com a vertical e é então liberado do repouso. Obtenha uma expressão para a rapidez da bolinha, quando ela passa pelo ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo.

Passo 1

Essa questão é no mesmo estilo das que a gente resolveu antes: vamos conservar a energia em dois pontos (um vai ser no momento que ela é solta e o outro é quando ela está diretamente abaixo do suporte) e comparar cada fórmula da energia mecânica, masssss, pera pera pera pera.

Calcular a gravitacional ... a gente sabe, vai ser algo com o cos ⁡ θ ali ..

Calcular a velocidade ... a gente sabe, é a incógnita do problema ...

Calcular a elástica ... opa, pera ai, como faço isso ?

Vamos puxar um pitagoras, mas calma que a gente vai vendo durante a questão!

Passo 2

Vamos escolher o ponto mais baixo da trajetória como sendo h = 0 . O que vai acontecer na questão é que a energia gravitacional e a energia elástica que a bolinha possui no ponto 1 vai ser transformada em energia cinética quando chegar no ponto 2 .

Vamos conservar energia nos dois pontos (olha, mais uma vez!) porque não temos forças dissipativas atuando na bolinha.

Passo 3

Pra descobrir a deformação x da mola temos que aplicar Pitágoras no triângulo de baixo, só que não temos o cateto horizontal. E como acha? É só aplicar Pitágoras no triângulo de cima! Vamos chamar esse cateto de d

Assim

L 2 = d 2 + L c o s θ 2

d 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2

Eu sei que você quer tirar a raiz quadrada desse valor aí mas não precisa por que quando formos usar o teorema de Pitágoras no triângulo de baixo vai aparecer d 2 também!

Passo 4

Agora vamos olhar o triângulo de baixo. Pra facilitar a vida, vamos reescrever o cateto vertical como

L - L c o s θ + L 2 = L 3 2 - cos ⁡ θ

Assim, aplicando Pitágoras

x + L 2 2 = d 2 + L 3 2 - cos ⁡ θ 2

Substituindo d 2 do passo anterior

x + L 2 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2 + L 3 2 - cos ⁡ θ 2

Agora vamos desenvolver esse bicho feio. Primeira coisa é botar L 2 em evidência

x + L 2 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2 + 3 2 - cos ⁡ θ 2

Agora vamos abrir o quadrado no final da expressão

x + L 2 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2 + 9 4 - 2 × 3 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

O cos ⁡ θ 2 vai embora e ficamos com

x + L 2 2 = L 2 1 + 9 4 - 2 × 3 2 cos ⁡ θ = L 2 13 4 - 3 cos ⁡ θ

Agora sim podemos tirar a raiz dos dois lados

x + L 2 = L 13 4 - 3 cos ⁡ θ

Isolando x e botando L em evidência

x = L 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2

Passo 5

Agora que já sabemos a deformação da mola, podemos comparar a energia mecânica nos dois pontos

E m e c â n i c a 1 = E m e c â n i c a 2

m g h + k x 2 2 = m v 2 2

Como queremos saber a velocidade

v 2 = 2 g h + k x 2 m

v = 2 g h + k x 2 m

Substituindo os valores que a gente conhece na equação temos:

v = 2 g L - L c o s θ + k m L 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

Isolando a velocidade ficamos com:

v = 2 g L 1 - c o s θ + k L 2 m 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

Eu falei que os números eram não muito bonitos ... hahahhaha

Resposta

= 2 g L 1 - c o s θ + k L 2 m 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

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