Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

Uma pedra de massa m e amarrada a um barbante de comprimento r é posta para girar em um plano perpendicular ao solo. Em um dado instante ela é solta de forma que, após passar por uma altura máxima, ela vem a atingir uma parede que se encontra a uma distância d do ponto de lançamento. A velocidade da pedra no momento do lançamento tem módulo v 0 e faz um ângulo θ 0 com a horizontal. Nestas condições, determine (Todas as respostas devem ser dadas em termos de m , θ 0 , r , g , d e v 0 ):

(a) A altura h do ponto de impacto da pedra na parede em relação ao ponto de lançamento

(b) a expressão para o vetor velocidade v → f da pedra no momento imediatamente antes dela atingir a parede, em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ indicados na figura

(c) A energia cinética K da pedra no instante em que ela passa pelo ponto mais alto de sua trajetória

(d) o módulo T da tensão no barbante no momento imediatamente anterior ao lançamento

Passo 1

(a)

Temos que no momento do lançamento, a pedra tem uma velocidade v → 0 que faz um ângulo θ 0 com a horizontal. Se decompormos essa velocidade nas componentes x e y , vamos ter

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0

v 0 y = v 0 s e n θ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na direção x não há aceleração, logo nessa direção teremos um movimento uniforme

x t = x 0 + v 0 x t

Como x 0 = 0 e v x vimos no passo anterior, temos

x t = v 0 cos ⁡ θ 0 t

Enquanto que na direção y , como temos a aceleração da gravidade apontando na direção negativa do eixo Y , teremos um movimento uniformemente variado

y t = y 0 + v 0 y t + a t 2 2

Como saímos da origem y 0 = 0 e ficamos com

y t = v 0 s e n θ 0 t - g t 2 2

Passo 3

Quando a pedra bate na parede temos que as suas posições x ( t ) e y ( t ) são dadas por

x t = d y t = h → v 0 cos ⁡ θ 0 t = d v 0 s e n θ 0 t - g t 2 2 = h

Lembrando que queremos encontra a altura h ! Isolando t na primeira equação, temos

t = d v 0 cos ⁡ θ 0

Agora basta substituir na segunda equação

v 0 s e n θ 0 d v 0 cos ⁡ θ 0 - g 2 d v 0 cos ⁡ θ 0 2 = h

Dando uma trabalhada pra essa expressão ficar mais simpática, ficamos com

h = d tan ⁡ θ 0   - g d 2 2 v 0 2 cos ⁡ θ 2

Passo 4

(b)

Pra encontrar esse vetor v → f , temos que achar as suas componentes

v → f = v x i ^ + v y j ^

Basta usar as equações da posição que já tínhamos

x t = v 0 cos ⁡ θ 0 t y t = v 0 s e n θ 0 t - g t 2 2

De forma que as componentes v x e v y são dadas por

v x = d x d t = v 0 cos ⁡ θ 0 v y = d y d t = v 0 s e n θ 0 - g t

Como no momento em que a pedra toca a parede o tempo t vale (vimos lá no passo 3)

t = d v 0 cos ⁡ θ 0

Basta substituir

v x = v 0 cos ⁡ θ 0 v y = v 0 s e n θ 0 - g d v 0 cos ⁡ θ 0

Assim o nosso vetor v → f vai ser dado por

v → f = v 0 cos ⁡ θ 0 i ^ + v 0 s e n θ 0 - g d v 0 cos ⁡ θ 0 j ^

Passo 5

(c)

No ponto mais alto da trajetória temos que a velocidade na direção y é nula. Assim o nosso vetor velocidade vai ser dado por

v → p o n t o m a i s   a l t o = v 0 cos ⁡ θ 0 i ^

Já que a velocidade na direção x vai ser sempre a mesma (movimento uniforme)

E a intensidade da velocidade será dada por

v p o n t o m a i s   a l t o = v 0 cos ⁡ θ 0

Passo 6

A energia cinética vai ser dada por

K = 1 2 m v 2 = 1 2 m v 0 cos ⁡ θ 0 2

K = 1 2 m v 0 2 cos ⁡ θ 0 2

Passo 7

(d)

Antes da pedra ser lançada ela está em uma trajetória circular. O que isso te lembra? Força centrípeta, né? Como logo antes do lançamento ela tem uma velocidade v → 0 , então a força centrípeta é dada por

F c p = m v 0 2 r

Passo 8

Agora para achar a tensão na corda temos que fazer o diagrama de corpo livre pra essa pedra. No caso, sobre ela teremos a tração T → e o seu peso P →

Passo 9

A tração T → já tá no esquema apontando pro centro da trajetória. Já o peso nem aponta na direção tangencial e nem aponta na direção radial. Pra trabalhar com ele teremos que decompor o peso nessas duas direções! Tá vendo esse ângulo θ 0 ?! Ele vai ser o cara na nossa decomposição! Saca só

Pela nossa figura a componente do peso P → r que aponta na direção radial é dada por

P r = P c o s θ 0 = m g c o s θ 0

Passo 10

Como a tensão e essa componente radial apontam pro centro da curva a força centrípeta será dada por

F c p = T + P r

T = F c p - P r

Substituindo o que achamos antes

T = m v 0 2 r - m g c o s θ 0

Resposta

(a) h = d tan ⁡ θ 0   - g d 2 2 v 0 2 cos ⁡ θ 2

(b)

v → f = v 0 cos ⁡ θ 0 i ^ + v 0 s e n θ 0 - g d v 0 cos ⁡ θ 0 j ^

(c)

K = 1 2 m v 0 2 cos ⁡ θ 0 2

(d)

T = m v 0 2 r - m g c o s θ 0

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