Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

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Enunciado

3 – Num parque de diversão, um trenó de massa m = 100 k g parte do repouso e desliza sobre um tobogã de altura inicial h , com um loop de raio R = 10 m . Depois de descer o loop, o carrinho ainda tem d = 40 m de trilho até tocar em uma mola de contenção que freia o trenó, com k = 40.000 N / m que pode ser comprimida, no máximo, 0,5 m . Para suavizar a colisão, os engenheiros modificaram a superfície ao longo da distância d após o loop para que houvesse uma força de atrito para ajudar a frear o carro.

a) qual a altura inicial h M i n necessária para que o carrinho complete o loop?

b) considere o coeficiente de atrito entre o trenó e a superfície horizontal depois do loop como sendo μ c = 0,5 e a altura h = h M i n . A constante elástica da mola é grande o suficiente para fazer o carro parar? Justifique com cálculos e explique.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Como descrito no enunciado do problema, temos um trenó no topo de um tobogã de altura h e ao descer, ele faz um loop de raio R = 10 m e logo depois percorre uma distância d = 40 m até bater em uma mola de constante k = 40.000 N / m que faz o trenó parar. Porém essa mola só consegue ser comprimida 0,5 m .

Com isso, queremos saber qual é a altura mínima que o tobogã deve ter para que o trenó consiga fazer o loop.

E dado que o atrito da parte d é μ c = 0,5 , o carrinho consegue parar suavemente ao atingir a mola?

Como podemos fazer isso? 🤔

Podemos até pensar que a altura mínima para h seja a altura do loop, não é? Mas o problema é que se for isso, ao chegar no topo do loop, o carrinho não terá velocidade para completar o loop e vai despencar.

Então temos que encontrar alguma maneira de obter essa altura mínima h M i n .

Já depois do loop, parte na energia cinética adquirida na queda do trenó será perdida pela força de atrito, assim calculando essa perda podemos analisar a conservação de energia.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

No ponto mais alto do loop, para que o trenó não perca contato com a superfície deve haver energia cinética sob o carrinho ainda, mas quanto maior?

Logo na base do loop, a energia mecânica no carro é

E 1 = m v 1 2 2

Já no topo do loop a energia mecânica deve ser

E 2 = m v 2 2 2 + m g 2 R

Igualando as duas energias, temos

E 1 = E 2

m v 1 2 2 = m v 2 2 2 + m g 2 R

Simplificando...

v 1 2 = v 2 2 + 4 g R

A aceleração centrípeta aponta para o centro do movimento rotacional, não é? Ela é dada por

a c = v 2 R

No caso, a aceleração centrípeta do movimento do trenó deve ser menor que a aceleração gravitacional ou se não o trenó despenca, concorda?

g < a c = v 2 2 R

g < v 2 2 R

v 2 2 > g R

E consequentemente

v 1 2 > g R + 4 g R

v 1 2 > 5 g R

Comparando a energia cinética no topo do tobogã com a energia cinética na base do tobogã, onde a velocidade do trenó é v 1

E 0 = m g h

E 1 = m v 1 2 2

E 0 = E 1

m g h = m v 1 2 2

Simplificando...

g h = v 1 2 2

Substituindo v 1 2 , temos

g h > 5 g R 2

h > 5 2 R

portanto, descobrimos que a altura h que permita o trenó realizar o loop é 5 / 2 do raio R , ou seja

h M i n = 5 2 10

h M i n = 25 m

Interessante, não é? 😎

Passo 3

Agora temos que saber se o carrinho para suavemente ou não.

Pra isso, ele deve colidir com a mola e a mola não pode comprimir mais que 0,5 m .

Assim, vamos usar o princípio de conservação de energia.

Inicialmente, toda a energia está na forma de energia potencial quando o carrinho está no topo do tobogã.

O carrinho desce, faz o loop e entra na zona d que há atrito. Parte da energia é dissipada e o carrinho atinge a mola.

Vamos começar calculando a energia inicial do trenó.

E 0 = m g h

Se m = 100 k g , g = 10 m / s 2 e h = 25 m , então

E 0 = 100 · 10 · 25

E 0 = 25 k J

O carrinho atingiu o ponto mais baixo do tobogã com essa energia, agora ele entra na zona d de 40 m e coeficiente de atrito μ c = 0,5 .

Como vamos calcular a energia que é dissipada pela força de atrito?

Lembra que a energia convertida por uma força é dada pelo trabalho que ela realiza?

O trabalho de uma força é dado por

W = F · d

No caso da força de atrito, como o deslocamento d é contrário à força F a t , o trabalho é negativo e a energia é dissipada.

E para encontrar a força de atrito, temos que lembrar que ela é dada por

F a t = μ c · N

Como a normal N é dada por m g , então

F a t = μ c · m · g

Substituindo em W , temos

W = μ c · m · g · d

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Se m = 100 k g , g = 10 m / s 2 , d = 40 m e μ c = 0,5 , a energia dissipada pela força de atrito será

W = 0,5 · 100 · 10 · 40

W = 20 k J

Veja só, inicialmente a energia no trenó era de 25 k J , com a ação da força de atrito, foram perdidos 20 k J , então imediatamente antes de tocar a mola, o trenó possui uma energia de

E 3 = 25 k - 20 k = 5 k J

Essa energia é transferida para mola e temos que descobrir que essa energia é o suficiente para ela.

Lembra qual é a energia dissipada por uma mola?

U k = k · x 2 2

Substituindo U k = 5 k j e k = 40 k N / m

5 k = 40 k · x 2 2

10 k = 40 k · x 2

Isolando x

x 2 = 10 k 40 k

x 2 = 1 4

Tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente em x

x 2 = 1 4

Como a b = a b

x = 1 4

x = 1 2 m

Ou seja, x = 0,5 m .

Incrível né? A mola é comprimida até o limite!

Portanto, sim, o trenó para suavemente!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) h M i n = 25 m

b) Para suavemente.

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